2017 年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）含答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．已知集合 A={x|x 2﹣2x﹣ 3≤ 0} ， B={x|y=ln （ 2﹣x） } ，则 A∩ B=（ ） A．（ 1， 3） B ．（ 1， 3] C．上，则输入的实数 x 的取值范围是（
） A． C． D．
9．某同学用“随机模拟方法”计算曲线
y=lnx 与直线 x=c ，y=0 所围成的曲边三角形的面积
xi 和 10 个区间上的均匀随机数 yi （ i
时，用计算机分别产生了 10 个在区间上的均匀随机数
∈N*， 1≤ i ≤ 10），其数据如下表的前两行． x y lnx 2.50 0.84 0.90
1.01 0.25 0.01 1.90 0.98 0.64 1.22 0.15 0.20
2.52 0.01 0.92 2.17 0.60 0.77 ）
1.89 0.59 0.64
1.96 0.88 0.67
1.36 0.84 0.31
2.22 0.10 0.80
由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（ A． （ e﹣ 1） B． （ e﹣ 1）
C． （ e+1） D． （ e+1）
10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人 所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分
5 钱，甲、乙
两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人 各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ A． 钱B．
钱C． 钱D．
钱
cosx （x∈ R），先将 y=f （ x）的图象上所有点的横坐标缩短
θ （ θ＞ 0）个单位
）
11．己知函数 f （ x）=sinx+ 到原来的
倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动
长度，得到的图象关于直线
x= D． 对称，则 θ 的最小值为（ ） A． B． C．
12．已知双曲线 Γ 1： ﹣ =1（ a＞ 0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，椭圆 Γ 2： + =1 的离心率为 e，直线 MN过 F2与双曲线交于 M，N两点，若 cos ∠ F1MN=cos∠ F1F2M，
=e，则双曲线 Γ 1 的两条渐近线的倾斜角分别为（
）
A．30°或 150° B．45°或 135° C．60°或 120° D．15°或 165°
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13．向量 =（﹣ 1， 1）， =（ 1， 0），若（ ﹣ ）⊥（ 2 +λ ），则 λ = ． 14．已知 {a n} 是首项为 32 的等比数列， Sn 是其前 n 项和，且 = ，则数列 {|log 2an|} 前
10 项和为
． 1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则
15．如图，网格纸上小正方形的边长为 该多面体外接球的表面积为
．
16．若曲线 C1： y=ax 2（ a＞ 0）与曲线 为 ．
C2： y=ex 存在公切线，则 a 的取值范围
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）
17．已知在△ ABC中，角 A，B， C 的对边分别为 a， b， c，且 asinB+bcosA=0 ．
（1）求角 A 的大小；
（2）若
，求△ ABC的面积．
已知所有这些这些
18．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，
学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定： A，B，C
三级为合格等级， D为不合格等级．
百分制
85 分及 以上
70 分到 84分
B
60 分到 69分 C
60 分以 下 D
n 名学生的原始成绩作为样本进行统
80 分及以上的所有数据的茎
等级
A
为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了
计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在
叶图如图所示．
（1）求 n 和频率分布直方图中的
x， y 的值；
（ 2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选 3 人，求至少有 1 人成绩是合格等级的概率；
（3）在选取的样本中，从
A， C两个等级的学生中随机抽取了 3 名学生进行调研，记 ξ 表
示抽取的 3 名学生中为 C 等级的学生人数，求随机变量
ξ 的分布列及数学期望．
19．如图， AB是半圆 O的直径， C 是半圆 O上除 A、B 外的一个动点， DC垂直于半圆 O所在
的平面， DC∥ EB， DC=EB， AB=4， tan ∠EAB= ．
（ 1）证明：平面 ADE⊥平面 ACD；
（ 2）当三棱锥 C﹣ ADE体积最大时，求二面角 D﹣AE﹣ B 的余弦值．
20．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： + =1（ a＞ b＞ 0）的离心率为 ，右焦点 F
（1， 0）．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ） 点 P 在椭圆 C上，且在第一象限内，
直线 PQ与圆 O：x2 +y2=b2 相切于点
M，且 OP⊥ OQ，
求点 Q的纵坐标 t 的值．
21．已知函数 f （x）=exsinx ﹣ cosx ，g（ x）=xcosx ﹣ ex，（其中 e 是自然对数的底数）． （ 1） ? x1∈， ? x2∈使得不等式 f （ x1） +g（ x2）≥ m成立，试求实数 m的取值范围；
（ 2）若 x＞﹣ 1，求证： f （ x）﹣ g（ x）＞ 0．
四、选修 4-4 ：坐标系与参数方程
22．在极坐标系中，曲线 C 的方程为 ρ2= ，点 R（ 2 ， ）．
C 的极坐标方程
（Ⅰ） 以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系，把曲线
化为直角坐标方程， R点的极坐标化为直角坐标；
（Ⅱ）设 P 为曲线 C上一动点， 以 PR为对角线的矩形 PQRS的一边垂直于极轴， 求矩形 PQRS
周长的最小值，及此时
P 点的直角坐标．
五、选修 4-5 ：不等式选讲
23．设函数 f （ x） =|x ﹣ a| ，a∈ R．
（Ⅰ）当 a=2 时，解不等式： f （ x）≥ 6﹣ |2x ﹣5| ； （Ⅱ）若关于 x 的不等式 f（ x）≤4 的解集为，且两正数 s 和 t 满足 2s+t=a ，求证：
．
2017 年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．已知集合 A={x|x 2﹣2x﹣ 3≤ 0} ， B={x|y=ln （ 2﹣x） } ，则 A∩ B=（
） A．（ 1， 3） B ．（ 1，3]
C．，
B={x|y=ln （ 2﹣ x） }={x|2
﹣x＞ 0}={x|x ＜ 2}= （﹣∞， 2）；
∴A∩ B=上，则输入的实数 x 的取值范围是（ ） A． C． D．
【考点】 EF：程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．
【解答】解：根据题意，得
当 x∈（﹣ 2， 2）时， f （ x）=2x， ∴1≤ 2x≤ 8，
∴ 0≤ x≤ 3；
当 x?（﹣ 2， 2）时， f （ x） =x+1，
∴ 1≤ x+1≤8，
∴ 0≤ x≤ 7，
∴ x 的取值范围是．故选： D．
9．某同学用“随机模拟方法”计算曲线
y=lnx 与直线 x=c ，y=0 所围成的曲边三角形的面积
xi 和 10 个区间上的均匀随机数 yi （ i
时，用计算机分别产生了 10 个在区间上的均匀随机数
∈N*， 1≤ i ≤ 10），其数据如下表的前两行．
x y lnx
2.50 0.84 0.90
1.01 0.25 0.01
1.90 0.98 0.64
1.22 0.15 0.20
2.52 0.01 0.92
2.17 0.60 0.77
1.89 0.59 0.64
1.96 0.88 0.67
1.36 0.84 0.31
2.22 0.10 0.80
由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（
A． （ e﹣ 1）
B． （ e﹣ 1）
C．
）
（ e+1） D． （ e+1）
【考点】 6G：定积分在求面积中的应用．
【分析】向矩形区域
内随机抛掷 10 个点，有 6 个点在曲边三角形内，由此根据
e﹣ 1，能求出曲边三角形面积的近似值．
内随机抛掷 10 个点， = ． 矩形区域的面积为
【解答】解：由表可知，向矩形区域
其中有 6 个点在曲边三角形内，其频率为
∵矩形区域的面积为
e﹣ 1，
（ e﹣ 1）．
∴曲边三角形面积的近似值为
故选： A
10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人
所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分
5 钱，甲、乙
两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人
各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（
）
A． 钱B． 钱C． 钱D． 钱
【考点】 84：等差数列的通项公式．
【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为
a﹣ 2d，a﹣ d，a，a+d，a+2d，由题意
求得 a=﹣ 6d，结合 a﹣ 2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5 求得 a=1，则答案可求．
【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为
a﹣2d， a﹣d， a，a+d， a+2d，
则由题意可知， a﹣ 2d+a﹣ d=a+a+d+a+2d，即 a=﹣ 6d，
又 a﹣ 2d+a﹣ d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴ a=1，
则 a﹣ 2d=a﹣ 2×
=
． 故选： B．
11．己知函数 f （ x）=sinx+ 到原来的
cosx （x∈ R），先将 y=f （ x）的图象上所有点的横坐标缩短
θ （ θ＞ 0）个单位 ）
倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动
x= D．
对称，则 θ 的最小值为（
长度，得到的图象关于直线 A．
B．
C．
【考点】 HJ：函数 y=Asin （ ωx+ φ ）的图象变换． 【分析】由条件利用 结论．
y=Asin （ ω x+φ ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出
【解答】解：函数 f （ x） =sinx+ cosx （ x∈R） =2sin （ x+ ），
先将 y=f （x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 可得 y=2sin （ 2x+
）的图象；
倍（纵坐标不变），
再将得到的图象上所有点向右平行移动 得到 y=2sin=2sin （2x+ 再根据得到的图象关于直线 则 θ 的最小值为 故选： A．
θ （ θ ＞ 0）个单位长度，
﹣2θ ）的图象． x=
对称，可得 2? + ﹣2θ =kπ+ ， k∈z，
，
12．已知双曲线 Γ 1： ﹣ =1（ a＞ 0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，椭圆 Γ 2： + =1 的离心率为 e，直线 MN过 F2与双曲线交于 M，N两点，若 cos ∠ F1MN=cos∠ F1F2M，
=e，则双曲线 Γ 1 的两条渐近线的倾斜角分别为（
）
A．30°或 150° B．45°或 135° C．60°或 120° D．15°或 165°
【考点】 KC：双曲线的简单性质．
1，MF2，NF1，NF2，利用余弦定理计算 cos ∠ F1F2M【分析】 用 a，b，c 表示出 MF
和
cos ∠ F1F2N，
由∠ F1F2M+∠ F1F2N=0计算出离心率 e1，得出 a 和 b 的关系即可得出答案．
【解答】解：∵ cos ∠ F1MN=cos∠F1F2M，
∴∠ F1MN=∠ F1F2M，
∴ |MF1|=|F 1F2|=2c ，
由双曲线的定义可得 |MF2|=|MF 1| ﹣ 2a=2c﹣ 2a，
∵椭圆 Γ 2：
+ =1 的离心率为 e= = ， ∴
= ，∴ |NF1|=4c ， |NF2|=4c ﹣ 2a，
在△ MF1F2 中，由余弦定理的
cos ∠ F1F2M=
=
cos ∠F1F2N=
，
NF1F2 中，由余弦定理的 在△
=
， F1F2M+∠ F1F2N=π ， ∵∠
∴cos ∠ F1F2M+cos∠ F1F2N=0，即
+ =0，
整理得 2a2+3c2 ﹣7ac=0 ，设双曲线的离心率为 e1，
∴3e 2
1 ﹣ 7e
1 +2=0，解得 e =2 或 （舍）． 1
∴
=4，∴ 3a2=b2，即 =
． ∴双曲线的渐近线方程为
y=± x， ∴渐近线的倾斜角为
60°和 120°．
故选 C．
【分析】
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13．向量 =（﹣ 1， 1）， =（ 1， 0），若（ ﹣ ）⊥（2 +λ ），则 λ = 3 ．
【考点】 9J：平面向量的坐标运算．
【分析】根据两向量垂直时数量积为 0，列出方程求出 λ 的值．
【解答】解：向量 =（﹣ 1， 1）， =（ 1， 0），
∴ =2，
=1 ，
=﹣ 1；
又（
﹣ ）⊥（2 +λ ），
∴（ ﹣ ）?（ 2 +λ ） =2
+（ λ ﹣ 2） ? ﹣ λ =0，
即 2× 2+（λ ﹣ 2）?（﹣ 1）﹣ λ ?1=0，解得 λ =3．
故答案为： 3．
14．已知 {a n} 是首项为 32 的等比数列， Sn 是其前 n 项和，且 = ，则数列 {|log10 项和为
58 ． 【考点】 8E：数列的求和．
{a n} 是首项为 32 的等比数列， Sn 是其前 n 项和， 且 = ，求出 q，可得 an=32?
2an|} 前
由
（ ） n 1=27 2n ，再求数列 {|log 2an|} 前 10 项和．
﹣﹣
【解答】解：∵ {a n} 是首项为 32 的等比数列， Sn 是其前 n 项和，且 = ， ∴
= ，
∴ 1+q3= ，
∴ q= ，
∴ an=32?（ ） n 1=27 2n， ∴ |log 2an|=|7 ﹣2n| ，
∴数列 {|log 2an|} 前 10 项和为 5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58，故答案是： 58．
﹣
﹣
15．如图，网格纸上小正方形的边长为 该多面体外接球的表面积为
1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则 ．
【考点】 LG：球的体积和表面积； L7：简单空间图形的三视图． 【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥 2， A， D 为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．
【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥 长为 2， A， D 为棱的中点
O﹣ ABCD，正方体的棱长为
O﹣ ABCD，正方体的棱
根据几何体可以判断：球心应该在过 A，D 的平行于底面的中截面上，设球心到截面 BCO的距离为 x，则到 AD的距离为： 2﹣ x，
∴R2=x2+（ 解得出： x=
） 2， R2=12+（ 2﹣ x） 2，
， R= ， 4π R2=
π，
该多面体外接球的表面积为：
故答案为：
．
2 x
16．若曲线 C1：y=ax（ a＞ 0）与曲线 C2 ：y=e 存在公切线， 则 a 的取值范围为[
，+∞） ． 【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出两个函数的导函数，设出两切点，由斜率相等列方程，再由方程有根转化为两
函数图象有交点，求得
a 的范围．
【解答】解：由 y=ax2（a＞ 0），得 y′=2ax，
由 y=ex ，得 y′=ex ，
曲线 C1： y=ax2 （a＞ 0）与曲线 C2： y=ex 存在公共切线，
设公切线与曲线 C1 切于点（ x1，ax12 ），与曲线 C2 切于点（ x2， ex2），
则 2ax1=ex2= ， 可得 2x2=x1+2，
∴a=
， 记 f （ x） = ，
则 f ′（ x） =
， 当 x∈（ 0， 2）时， f ′（ x）＜ 0， f （x）递减；当 x∈（ 2， +∞）时， f ′（ x）＞ 0， f （ x）递增．
∴当 x=2 时， f （ x）min =
． ∴a 的范围是 [
，+∞）． 故答案为： [
， +∞）．
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17．已知在△ ABC中，角 A，B， C 的对边分别为 a， b， c，且 asinB+bcosA=0 ． （1）求角 A 的大小；
（2）若
，求△ ABC的面积．
【考点】 HS：余弦定理的应用； HP：正弦定理．
【分析】（ 1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．
（2）利用余弦定理求出
c 的值，然后求解三角形的面积．
【解答】解：（ 1）在△ ABC中，由正弦定理得 sinAsinB+sinBcosA=0 ，,
即 sinB （ sinA+cosA ） =0，又角 B 为三角形内角， sinB ≠ 0，
所以 sinA+cosA=0 ，即
，, 又因为 A∈（ 0， π），所以
．,
（2）在△ ABC中，由余弦定理得： a2=b2+c2﹣2bc?cosA，则 ,
即
，解得
或 ，,
又
，所以
．,
18．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，
已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：
A，B，三级为合格等级， D为不合格等级．
百分制 85 分及 70 分到 60 分到 60 分以
C
以上
84 分 B
69 分 C
下 D
等级
A
为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了
n 名学生的原始成绩作为样本进行统
计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在
80 分及以上的所有数据的茎
叶图如图所示．
（1）求 n 和频率分布直方图中的
x， y 的值；
（ 2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选 3 人，求至少有 1 人成绩是合格等级的概率；
（3）在选取的样本中，从
A， C两个等级的学生中随机抽取了 3 名学生进行调研，记 ξ 表
示抽取的 3 名学生中为 C 等级的学生人数，求随机变量
ξ 的分布列及数学期望．
【考点】 CS：概率的应用； CH：离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（ 1）根据频率分布直方图和树形图求解；
（ 2）至少有一人可从反面出发，用间接法求解；
（ 3）根据分布列的定义和数学期望的计算方法求解即可．
【解答】解：（ 1 ））由题意可知，样本容量n= y==0.018 ；
（2））不合格的概率为
=50， x= =0.004 ，
0.1 ，
A，
设至少有 1 人成绩是合格等级为事件
∴P（ A） =1﹣ 0.1 3=0.999 ， 故至少有 1 人成绩是合格等级的概率为
；
（ 3） C 等级的人数为 0.18 ×50=9 人， A 等级的为 3 人， ∴ξ 的取值可为 0，1， 2， 3；
∴P（ ξ =0） =
= ， P（ξ =1） = ， P（ ξ=2） = ， P（ ξ =3） = ，
∴ξ 的分布列为
ξ 0
1
2
3
P
Eξ =0×
+1×
+2× +3× = ． 19．如图， AB是半圆 O的直径， C 是半圆 O上除 A、B 外的一个动点， DC垂直于半圆 O所在
的平面， DC∥ EB， DC=EB， AB=4， tan ∠EAB= ．
（ 1）证明：平面 ADE⊥平面 ACD；
（ 2）当三棱锥 C﹣ ADE体积最大时，求二面角 D﹣AE﹣ B 的余弦值．
【考点】 MJ：与二面角有关的立体几何综合题；
LY：平面与平面垂直的判定．
【分析】 （Ⅰ）由已知条件推导出
BC⊥平面 ACD，BC∥ DE，由此证明
DE⊥平面 ACD，从而得
到平面 ADE⊥平面 ACD．
（Ⅱ）依题意推导出当且仅当
时三棱锥 C﹣ ADE 体积最大，建立空间直角坐标
系，利用向量法能求出二面角
D﹣ AE﹣ B的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵
AB是直径，∴ BC⊥AC,，
∵CD⊥平面 ABC，∴ CD⊥BC,，
∵CD∩ AC=C，∴ BC⊥平面 ACD,
∵CD∥ BE，CD=BE，∴ BCDE是平行四边形，
BC∥ DE，
∴DE⊥平面 ACD,，
∵ DE? 平面 ADE，∴平面 ADE⊥平面 ACD,
（Ⅱ）依题意，
, ，
由（Ⅰ）知
= =
，
当且仅当
时等号成立
,
如图所示，建立空间直角坐标系，
则 D（0，0，1），
，
， ∴
，
， ，
,
设面 DAE的法向量为
， ，即
，∴ ，,
设面 ABE的法向量为
， ，即
，∴ ， ∴
,
∵
与二面角 D﹣AE﹣ B 的平面角互补，
∴二面角 D﹣ AE﹣ B 的余弦值为
．
,
20．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： + =1（ a＞ b＞ 0）的离心率为 ，右焦点F
（ 1， 0）．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ） 点 P 在椭圆 C上，且在第一象限内， 直线 PQ与圆 O：x2 +y2=b2 相切于点 M，且 OP⊥ OQ，求点 Q的纵坐标 t 的值．
【考点】 K4：椭圆的简单性质．
【分析】 （Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和焦点坐标，可得 方程；
c=1，a=2，求得 B，进而得到椭圆
（Ⅱ）讨论当 PM垂直于 x 轴时，求得 P，Q的坐标，运用数量积为 0，可得 t ；当 PM不垂直
d=r ，结合
于 x 轴时，设 P（ x0，y0）， PQ： y﹣ y0=k（ x﹣ x0），运用直线和圆相切的条件： 向量垂直的条件：数量积为
0，化简整理，即可得到所求值．
e= = ， c=1，
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得 解得 a=2，b=
=
，
可得椭圆方程为 + =1；
（Ⅱ）当 PM垂直于 x 轴时，可得 P（ 由 OP⊥ OQ，即有
， ）， Q（ ， t ），
；
?
=3+
t=0 ，解得 t= ﹣ 2
0
0
当 PM不垂直于 x 轴时，设 P（x ， y ），
PQ： y﹣ y0=k（x﹣ x0），即为 kx﹣ y﹣ kx 0+y 0=0， 由 PQ于圆 O： x2+y 2=3 相切，可得
=
， 平方可得（ kx 0﹣ y0） 2=3（1+k2），即 2kx 0y0=k2x02+y 02﹣ 3k 2﹣ 3，
又 Q（
， t ），
由 OP⊥ OQ，即有 ?
=x0? +ty 0=0， 解得 t=
， 则 t 2= =
=
= =
=
=12，
解得 t=
．
综上可得， t=
． 21．已知函数 f （x）=exsinx ﹣ cosx ，g（ x）=xcosx ﹣ ex，（其中 e 是自然对数的底数）． （ 1） ? x1∈， ? x2∈使得不等式 f （ x1） +g（ x2）≥ m成立，试求实数 m的取值范围；
（ 2）若 x＞﹣ 1，求证： f （ x）﹣ g（ x）＞ 0．
【考点】 6P：不等式恒成立的问题．
【分析】（ 1）确定函数 f （ x）在上单调递增，可得
f （ x）min =f （0） =﹣ 1；函数 g（x）在
m的范围；
上单调递减，可得
g（ x） max=g（ 0）=﹣ ，即可求出实数
＞
（2）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证
，令 h（ x） =
， x
＞﹣ 1，利用导数求出 h（ x）min =h（ 0）=1，再令 k=
，其可看作点 A（ sinx ，cosx ） k 的最大值，即可证明． 与点 B（﹣
， 0）连线的斜率，根据其几何意义求出
【解答】（ 1）解：∵ f （ x1） +g（ x2）≥ m，
∴ f （ x1）≥ m﹣ g（ x2），
∴ f （ x1） min≥ min，
∴ f （ x1） min≥ m﹣ g（ x2） max，
当 x∈时， f ′（ x）＞ 0，函数 f （ x）在上单调递增， ∴f （ x） min≥ f （0） =﹣ 1，
∵g（ x） =xcosx ﹣
ex，
∴g′（ x）=cosx ﹣ xsinx ﹣
ex ，
∵x∈，
∴0≤ cosx ≤ 1， xsinx ≥ 0，
e
x≥
， ∴g′（ x）≤ 0，
∴函数 g（x）在上单调递减， ∴g（ x） max≥ g（0） =﹣
， ∴﹣ 1≥ m+ ， ∴m≤﹣ 1﹣
， ∴实数 m的取值范围为（﹣∞，﹣ 1﹣
] ；
（ 2）证明： x＞﹣ 1，要证： f （ x）﹣ g（ x）＞ 0，只要证 f （x）＞ g（x），
只要证 exsinx ﹣ cosx ＞xcosx ﹣
ex， 只要证 ex（ sinx+
）＞（ x+1） cosx ，
由于 sinx+
＞ 0， x+1＞ 0，
只要证
，
下面证明 x＞﹣ 1 时，不等式
成立，
令 h（ x） =
， x＞﹣ 1，
∴h′（ x）=
， x＞﹣ 1，
当 x∈（﹣ 1， 0）时， h′（ x）＜ 0， h（ x）单调递减，当 x∈（ 0， +∞）时， h′（ x）＞ 0， h（ x）单调递增，∴h（ x） min=h（ 0） =1
令 k=
，其可看作点 A（ sinx ，cosx ）与点 B（﹣
，
∴直线 AB的方程为 y=k （ x+
），
）连线的斜率，
0
2
由于点 A 在圆 x +y =1 上，
2
当直线 AB与圆相切且切点在第二象限时，直线
AB 的斜率取得最大值为 1， ∴当 x=0 时， k=
＜ 1=h（ 0）， x≠ 0 时， h（ x）＞ 1≥ k，
综上所述，当 x＞﹣ 1， f （ x）﹣ g（ x）＞ 0．
四、选修 4-4 ：坐标系与参数方程
22．在极坐标系中，曲线 C 的方程为 ρ2=
，点 R（2 ， ）．
C 的极坐标方程
（Ⅰ） 以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系，把曲线 化为直角坐标方程， R点的极坐标化为直角坐标；
（Ⅱ）设 P 为曲线 C上一动点， 以 PR为对角线的矩形 PQRS的一边垂直于极轴， 求矩形 PQRS 周长的最小值，及此时
P 点的直角坐标．
【考点】 Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】 （Ⅰ）首先根据变换关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程， 化成直角坐标．
进一步把极坐标转
（Ⅱ）把椭圆的直角坐标形式转化成参数形式， 通过三角恒等变换求出最小值，进一步求出
进一步把矩形的周长转化成三角函数的形式， P 的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由于 x=ρcos θ ，y= ρ sin θ， 则：曲线 C的方程为 ρ 2= 点 R 的极坐标转化成直角坐标为： （Ⅱ）设 P（
，转化成 R（ 2，2）． ）
．
根据题意，得到 Q（2， sin θ）， 则： |PQ|= 所以： |PQ|+|QR|= 当
， |QR|=2 ﹣ sin θ ，
．
时，（ |PQ|+|QR| ） min =2，
）．
矩形的最小周长为 4，点 P（
五、选修 4-5 ：不等式选讲
23．设函数 f （ x） =|x ﹣ a| ，a∈ R．
（Ⅰ）当 a=2 时，解不等式： f （ x）≥ 6﹣ |2x ﹣ 5| ；
（Ⅱ）若关于 x 的不等式 f（ x）≤4 的解集为，且两正数 s 和 t 满足 2s+t=a ，求证：
． 【考点】 R5：绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可．
（ 2）根据不等式的解集求出 a=3，利用 1 的代换结合基本不等式进行证明即可．
【解答】（Ⅰ）解：当 a=2 时，不等式： f （x）≥ 6﹣ |2x ﹣ 5| ，可化为 |x ﹣2|+|2x ﹣5| ≥ 6．
①x≥ 2.5 时，不等式可化为
x﹣ 2+2x ﹣5≥ 6，∴ x≥ ； ②2≤ x＜ 2.5 ，不等式可化为 x﹣ 2+5﹣2x ≥ 6，∴ x∈ ?；
③x＜ 2，不等式可化为 2﹣ x+5﹣ 2x≥ 6，∴ x≤ ，
综上所述，不等式的解集为（﹣
] ； （Ⅱ）证明：不等式
f （ x）≤ 4 的解集为 =，∴ a=3， ）（ 2s+t ）= （ 10+ +
）≥ 6，当且仅当 s= ， t=2 时取等号．
∴ = （
2017年 5 月 23日
20xx年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)含答案.doc
