圆锥曲线解题方法技巧
第一、知识储备： 1. 直线方程的形式
（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容
①倾斜角与斜率k?tan?,??[0,?) k?y2?y1x2?x1
②点P(x0,y0)到直线Ax?By?C?0的距离 d?l1:y?k1x?b1l2:y?k2x?b2Ax0?By0?CA?B22
③夹角公式：直线（3）弦长公式
夹角为?， 则tan??k2?k11?k2k1
直线y?kx?b上两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离 ①AB?(x2?x1)?(y2?y1)②AB?1k2221?k2x1?x2?(1?k)[(x1?x2)?4x1x2]
22③AB?1?y1?y2
（4）两条直线的位置关系 （Ⅰ）
l1:y?k1x?b1l2:y?k2x?b2
①l1?l2?k1k2=-1 ② l1//l2?k1?k2且b1?b2
（Ⅱ）
l1:A1x?B1y?C1?0l2:A2x?B2y?C2?0
①l1?l2?A1A2?B1B2?0
② l1//l2?A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1?0或两平行线距离公式
?l1:y?kx?b1?l1:Ax?By?C1?0|b1?b2||C1?C2|d?d? 距离 距离 ??2221?kA?B?l2:y?kx?b2?l2:Ax?By?C2?0A1A2?B1B2?C1C2者（A2B2C2?0）
二、椭圆、双曲线、抛物线：
椭圆 双曲线 抛物线
1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0 1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1） 点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜. =±2a,｜F2F2｜＞2a}. 与定点和直线的距离相等的点的轨迹. 定义 轨迹条件 点集{M｜ ｜MF｜=点M到直线l的距离}. 图形 标准方 方程 程 xa22?yb22?1(a?b>0) xa22?yb22?1(a>0,b>0) y2?2px 参数方程 ?x?acos??y?bsin? ?(参数?为离心角）?x?asec??y?btan? ?(参数?为离心角）?x?2pt??y?2pt2(t为参数) 范围 中心 ─a?x?a，─b?y?b 原点O（0，0） (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b |x| ? a，y?R 原点O（0，0） x?0 顶点 (a,0), (─a,0) x轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. (0,0) 对称轴 x轴 焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0) F(p2,0) x=±准 线 a2c x=±a2c x=-p2 准线垂直于长轴，且在椭圆外. 焦距 2c （c=a?b） e?ca(0?e?1) 22准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧. 2c （c=a?be?ca22准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等. ） 离心率 (e?1) e=1 P(x0，y0)为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点 焦半径 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 【备注1】双曲线： ⑶等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2 p2P在右支时： P在左支时： |PF1|=a+ex0 |PF1|=-a-ex0 |PF2|=-a+ex0 |PF2|=a-ex0 |PF|=x0+ 称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e?2. xa22⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. xa22?yb22??与 ?yb22???互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： xa22xa22?yb22?0xa22. yb22⑸共渐近线的双曲线系方程：它的双曲线方程可设为【备注2】抛物线： xa22?yb22??(??0)的渐近线方程为 ??0如果双曲线的渐近线为 xa?yb?0时， ?yb22??(??0). （1）抛物线y=2px(p>0)的焦点坐标是(标是(-p22p2,0)，准线方程x=-2p2 ，开口向右；抛物线y=-2px(p>0)的焦点坐 p22,0)，准线方程x= p2，开口向左；抛物线x=2py(p>0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=- p2 ，开 口向上； 抛物线x=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-22p2），准线方程y= p2，开口向下. p2（2）抛物线y=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF?x0?与焦点F的距离MF?p2?x0 2；抛物线y=-2px(p>0)上的点M(x0,y0) 2（3）设抛物线的标准方程为y=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为到准线的距离为p. p2，顶点到准线的距离 p2，焦点 （4）已知过抛物线y=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)， 2psin22则弦长AB=x1?x2+p或AB?叫做焦半径). ?(α为直线AB的倾斜角)，y1y2??p，x1x2?2p42,AF?x1?p2(AF椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例1：已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。 解：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3. y2x2 所以椭圆的标准方程是＋＝1. 43 2．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c＝1，∴b＝5－1＝24.∴椭圆的标准方程为＋＝1. 2524 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 2 x2y2
圆锥曲线知识点总结与经典例题
