第一章 矢量与坐标
教学目的 1、理解矢量的有关概念，掌握矢量线性运算的法则及其运算性质;
2、理解矢量的乘法运算的意义，熟悉它们的几何性质，并掌握它们的运算规律; 3、利用矢量建立坐标系概念，并给出矢量线性运算和乘法运算的坐标表示; 4、能熟练地进行矢量的各种运算，并能利用矢量来解决一些几何问题。
教学重点 矢量的概念和矢量的数性积，矢性积，混合积。 教学难点 矢量数性积，矢性积与混合积的几何意义。
参考文献 (1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时
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§ 矢量的概念
教学目的 1、理解矢量的有关概念; 2、掌握矢量间的关系。 教学重点 矢量的两个要素：摸与方向。 教学难点 矢量的相等
参考文献 (1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社， 授课课时
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一、有关概念
1. 矢量 2. 矢量的表示
3. 矢量的模
二、特殊矢量
1. 零矢 2. 单位矢
三、矢量间的关系
1. 平行矢 2. 相等矢 3. 自由矢 4. 相反矢 5. 共线矢 6. 共面矢 7. 固定矢量
例1. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：＝. 当
ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立
例2. 回答下列问题：
(1) 若矢量设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、、 、、、、、、、、和中，哪些矢量是相等的 2. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：
(1) 、; (2) 、; (3) 、; (4) 、; (5) 、.
矢量的线性运算(§ 矢量的加法 、§ 矢量的数乘)
教学目的 1、 掌握矢量加法的两个法则、数量与矢量的乘法概念及运算律;
2、 能用矢量法证明有关几何命题。
教学重点 矢量加法的平行四边形法则、数量与矢量的乘法概念 教学难点 运算律的证明、几何命题转化为矢量间的关系
参考文献 (1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时
一、概念
1. 两个例子
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2. 矢量的加法法则 (1) 三角形法则 (2) 平行四边形法则
二、性质
1. 运算规律 (1) 交换律 +＝+; (2) 结合律 (+)+＝+(+); (3) +＝; (4) +(－)＝.
2. 矢量加法的多边形法则 3. 矢量减法 4. 三角不等式 (1) |+|≤||+||, |-|≥||-||; (2) |++…+|≤||+||+…+||. 例1. 从矢量方程组中解出矢量.
例2. 用矢量法证明平行四边形对角线互相平分. 作业题：
1. 设两矢量与共线，试证+＝+.
2. 证明：四边形ABCD为平行四边形的充要条件是对任一点O有+＝＋.
§ 数量乘矢量
一、概念
1. 数乘的例子 2. 数乘的定义
二、性质
1. 运算规律 (1)1＝.
(2) 结合律 ()＝(). (3) 第一分配律 (+)＝+. (4) 第二分配律 (+)＝+.
例1. 如图1-7，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明 例2. 设点O是平面上正多边形A1A2…An的中心，证明: 作业题：
1. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量, , 可以构成一个三角形. 2. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明
+=++.
3. 用矢量法证明，四面体对棱中点的连线相交于一点且互相平分.
§ 矢量的线性关系与矢量的分解
教学目的 1、理解矢量在直线和平面及空间的分解定理；2、掌握矢量间的线性相关性及判断方法。 教学重点 矢量的三个分解定理及线性相关的判断。 教学难点 分解定理的证明
参考文献 (1)解析几何（第三版），吕林根 许子道 等编，高等教育出版社，
(2)解析几何思考与训练，梁延堂 马世祥主编，兰州大学出版社，
授课课时
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一、矢量的分解
1. 线性运算 2. 线性组合
3. 矢量在直线上的分解：
定理1 如果矢量，那么矢量与矢量共线的充要条件是可以用矢量线性表示，或者说是的线性组合，即＝
x，且系数x被，唯一确定. 称为用线性组合来表示共线矢量的基底.
4. 矢量在平面上的分解：
定理2 如果矢量, 不共线，那么矢量与, 共面的充要条件是可以用矢量, 线性表示，或者说矢量可以分解成矢量, 的线性组合，即＝x+y，且系数x, y被, , 唯一确定. , 称为平面上矢量的基底. 5. 矢量在空间的分解：
定理3 如果矢量, , 不共面，那么空间任意矢量可以由矢量, , 线性表示，或者说矢量可以分解成矢量, , 的线性组合，即＝x+y+z，且系数x, y, z被, , , 唯一确定. , , 称为空间矢量的基底.
二、矢量的线性关系
1. 定义
对于n (n≥1)个矢量, , …, ，如果存在不全为零的n个数1, 2， …, n, 使得
1+2+…+n=,
那么n个矢量, , …, 叫做线性相关. 矢量, , …, 线性无关是指，只有当1＝2＝…＝n＝0时，上式才成立. 2. 判断方法
推论1 一个矢量线性相关的充要条件是=.
定理4 矢量, , …, (n≥2)线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢量的线性组合. 定理5 如果一组矢量中的一部分矢量线性相关，那么这一组矢量就线性相关. 推论2 一组矢量中如果含有零矢量，那么这组矢量必线性相关. 定理6 两矢量共线的充要条件是它们线性相关. 定理7 三矢量共面的充要条件是它们线性相关. 定理8 空间任何四个矢量总是线性相关. 推论3 空间四个以上矢量总是线性相关.
例1. 设一直线上三点A, B, P满足＝(－1),O是空间任意一点，求证： ＝
例2. 在△ABC中，设＝，＝，AT是角A的平分线（它与BC交于T点），试将分解为,的线性组合. 作业题：
1. 在平行四边形ABCD中， (1) 设对角线＝,＝，求, , , ;
(2) 设边BC和CD的中点为M和N，且＝, ＝,求, .
2. 在△ABC中，设＝, ＝, D、E是边BC的三等分点，将矢量, 分解为, 的线性组合. 3. 用矢量法证明: 三角形三中线共点.
4. 设G是△ABC的重心，O是空间任意一点，试证
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