2004年7月第1版
2008年4月第10次印刷
第一章 随机事件与概率
1.1 随机事件及其运算 1.1.1 随机现象
在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验. 1.1.2 样本空间
随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为??={??}，其中??表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元. 1.1.3 随机事件
随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件. 1.1.4 随机变量
用来表示随机现象结果的变量称为随机变量. 1.1.7 事件域
定义1.1.1 设??为一样本空间，?为??的某些子集所组成的集合类.如果?满足： (1) ??∈?；
(2)若??∈?，则对立事件??∈?； (3)若????∈?,??=1,2,…，则可列并 ∞??=1????∈?. 则称?为一个事件域，又称为??代数. 在概率论中，又称(??,?)为可测空间.
1.2 概率的定义及其确定方法 1.2.1 概率的公理化定义
定义1.2.1设??为一样本空间，?为??的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件??∈?，定义在?上的一个实值函数??(??)满足： (1)非负性公理 若??∈?，则?? ?? ≥0； (2)正则性公理 ?? ?? =1；
(3)可列可加性公理 若??1,??2,…,????互不相容，有
∞
∞
?? ???? = ?? ????
??=1
??=1
则称??(??)为事件??的概率，称三元素(??,?,??)为概率空间.
第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量及其分布 2.1.1 随机变量的概念
定义2.1.1 定义在样本空间??上的实值函数??=??(??)称为随机变量. 2.1.2 随机变量的分布函数
定义2.1.2 设??是一个随机变量，对任意实数??，称
?? ?? =??(??≤??)
为随机变量??的分布函数.且称??服从?? ?? ，记为??~?? ?? . 2.1.4 连续随机变量的概率密度函数
定义2.1.4 设随机变量??的分布函数为?? ?? ，如果存在实数轴上的一个非负可积函数??(??)，使得对任意实数??有
?? ?? = ??(??)????
则称??为连续随机变量，称??(??)为??的概率密度函数，简称为密度函数. 密度函数的基本性质 (1)非负性 ?? ?? ≥0； (2)正则性 ?∞??(??)????=1.
第三章 多维随机变量及其分布
3.1 多维随机变量及其联合分布 3.1.1 多维随机变量
定义3.1.1 如果??1 ?? ,…,???? ?? 定义在同一个样本空间??={??}上的??个随机变量，则称
?? ?? =(??1 ?? ,…,???? ?? )
为??维(或??元)随机变量或随机向量. 3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 对任意的??个实数??1,…,????，则??个事件 ??1≤??1 ,…, ????≤???? 同时发生的概率
?? ??1,…,???? =??(??1≤??1,…,????≤????)
称为??维随机变量(??1,…,????)的联合分布函数.
3.4 多维随机变量的特征数
3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵
定义3.4.3 记??维随机向量为??=(??1,…,????)′，若其每个分量的数学期望都存在，则称
?? ?? =(??(??1),…,??(????))′
为??维随机向量??的数学期望向量，简称为??的数学期望，而称
??????(??1)??????(??1,??2)…??????(??1,????)
′??????(??2,??1)??????(??2)…??????(??2,????)
?? ????? ?? ????? ?? =
…………??????(????,??1)??????(????,??2)…??????(????)
为该随机向量的方差—协方差阵，简称协方差阵，记为??????(??).
例3.4.12(??元正态分布) 设??维随机变量??=(??1,…,????)′的协方差阵为??=??????(??)，数学期望向量为??=(??1,…,????)′.又记??=(??1,…,????)′，则由密度函数
?? ??1,…,???? =?? ?? =
1
(? ????? ′???1(?????)) ??1???????2 2?? 2(????????)21
+∞
?∞??
定义的分布称为??元正态分布，记为??~?? ??,?? .
第四章 大数定律与中心极限定理
4.1 特征函数
4.1.1 特征函数的定义
定义4.1.1 设??是一个随机变量，称
?? ?? =?? ???????? ,?∞
为??的特征函数.设??(??)是随机变量??的密度函数，则
?? ?? =
+∞
??????????(??)????
?∞
4.2 大数定律
4.2.1伯努利大数定律
定理4.2.1(伯努利大数定律) 设????为??重伯努利试验中事件??发生的次数，??为每次试验中??出现的概率，则对任意的??>0，有
????
????????{ ???
4.3 随机变量序列的两种收敛性 4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1(依概率收敛) 设{????}为一随机变量序列，??为一随机变量，如果对任意的??>0，有
??→+∞
????????{ ???????
??
则称{????}依概率收敛于??，记作????→??.
4.4 中心极限定理
4.4.2 独立同分布下的中心极限定理
定理4.4.1(林德贝格—勒维中心极限定理) 设{????}是独立同分布的随机变量序列，且?? ???? =??,?????? ???? =??2>0.记
??1+?+??????????????= ?? ??则对任意实数??有
????21??
????????(????≤??)=?? ?? = ??2???? ??→+∞ 2???∞
第五章 统计量及其分布
第六章 参数估计
第七章 假设检验
第八章 方差分析与回归分析
概率论与数理统计教程(茆诗松)
