直线与平面、平面与平面平行的判定
【知识梳理】
1．直线与平面平行的判定
表示 定理 直线与平面平行的判定定理 2．平面与平面平行的判定 表示 位置 图形 文字 符号 图形 文字 平面外一条直线与此平面内一直线平行，则该直线与此平面平行 符号 a?α??b?α??a∥α a∥b??一个平面内的两条平面与平面平行的判定定理 相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平 行 ??a∩b＝P?α∥β ?a∥α??b∥αb?βa?β【常考题型】 题型一、直线与平面平行的判定
【例1】 已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ(如图)．求证：PQ∥平面CBE.
[证明] 作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图，
PMEPQNBQ
则PM∥QN，＝，＝.∵EA＝BD，AP＝DQ，
ABEACDBD∴EP＝BQ.
又AB＝CD，∴PM綊QN， ∴四边形PMNQ是平行四边形，
∴PQ∥MN.
又PQ?平面CBE，MN?平面CBE， ∴PQ∥平面CBE. 【类题通法】
利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．
【对点训练】
1.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF∥平面PAD.
证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点， ∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD. ∵AD?平面PAD，EF?平面PAD， ∴EF∥平面PAD.
题型二、面面平行的判定
【例2】 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．
求证：(1)E、F、B、D四点共面； (2)平面MAN∥平面EFDB. [证明] (1)连接B1D1，
∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点， ∴EF∥B1D1.
而BD∥B1D1，∴BD∥EF. ∴E、F、B、D四点共面．
(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD. 又MN?平面EFDB，BD?平面EFDB. ∴MN∥平面EFDB.
连接MF.∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点， ∴MF∥A1D1，MF＝A1D1. ∴MF∥AD，MF＝AD.
∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF. 又AM?平面BDFE，DF?平面BDFE， ∴AM∥平面BDFE. 又∵AM∩MN＝M， ∴平面MAN∥平面EFDB. 【类题通法】
两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行．
【对点训练】
2.如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
证明：∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD， ∴MQ∥AD，NQ∥BP.
∵BP?平面PBC，NQ?平面PBC， ∴NQ∥平面PBC.
又底面ABCD为平行四边形， ∴BC∥AD，∴MQ∥BC.
∵BC?平面PBC，MQ?平面PBC， ∴MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.
高中数学必修2立体几何常考题型：直线与平面、平面与平面平行的判定正式版
