第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
A级 基础巩固
一、选择题
1．设函数y＝f(x)，当自变量由x0变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy为( )
A．f(x0＋Δx) C．f(x0)Δx
B．f(x0)＋Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
解析：函数值的改变量为f(x0＋Δx)－f(x0)，所以Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
答案：D
2．如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a＝( )
A．－3 B．2 C．3 D．－2
Δy（2a＋b）－（a＋b）
解析：根据平均变化率的定义，可知＝Δx2－1＝a＝3.
答案：C
3．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，
1
则
Δs 为( ) Δt
A. 从时间t到t＋Δt一段时间内物体的平均速度 B．在t时刻时该物体的瞬时速度 C．当时间为Δt时物体的速度 D．在时间t＋Δt时刻物体的瞬时速度 解析：由瞬时速度的求法可知，
Δs
表示在t时刻时该物体Δt
的瞬时速度．
答案：B
4．函数f(x)在x0处可导，则A．与x0、h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关 C．仅与h有关，而与x0无关 D．与x0、h均无关 解析：因为f′(x0)＝
f（x0＋h）－f（x0） ，
h
f（x0＋h）－f（x0） ( )
h
所以 f′(x0)仅与x0有关，与h无关． 答案：B
5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝( ) A．Δx－3 C．－3 解析：f′(0)＝＝
B．(Δx)2－3Δx D．0
f（0＋Δx）－f（0） ＝
Δx
（Δx）2－3Δx
Δx
2
(Δx－3)＝－3. 答案：C 二、填空题
6．如图，函数f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．
Δy
解析：函数f(x)在A，B两点间的平均变化率是＝
Δxf（3）－f（1）1－3
＝＝－1.
3－13－1
答案：－1
7．设函数y＝x2＋2x在点x0处的导数等于3，则x0＝______． 解析：f′(x)＝
2
（x0＋Δx）2＋2（x0＋Δx）－x0－2x0 ＝
Δx
1
2x0＋2，又2x0＋2＝3，所以x0＝.
21
答案：
2
8．若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为－2，则
?1??fx0－2k?－f（x0）??
lim
k
＝________．
解析：
?1?
f?x0－2k?－f（x0）??
k
＝
3
1－2
?1??fx0－2k?－f（x0）??
1
－k2
＝
11
－f′(x0)＝－×(－2)＝1. 22答案：1 三、解答题
9．如图是函数y＝f(x)的图象．
(1)求函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率．
解：(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为f（1）－f（－1）2－11
＝＝.
221－（－1）
?x＋3，－1≤x≤1，
(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝?2所以函数f(x)
?x＋1，1 33－ f（2）－f（0）23 在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝. 242－0 10．求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数． 解：Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝ 12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx， Δy2（Δx）2＋16Δx 所以 ＝＝2Δx＋16. ΔxΔx 4 所以 y′|x＝3＝ Δy ＝Δx (2Δx＋16)＝16. B级 能力提升 1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( ) A．f′(x)＝a C．f′(x0)＝a B．f′(x)＝b D．f′(x0)＝b Δyf（x0＋Δx）－f（x0） 解析：＝＝a＋bΔx. ΔxΔx所以 f′(x0)＝答案：C 2．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积28π 膨胀率为，则m的值为________． 3 解析：ΔV＝ 4π34π34π3 m－×1＝(m－1)， 333 (a＋bΔx)＝a. 4π （m3－1） ΔV328所以 ＝＝π. 3ΔRm－1所以 m2＋m＋1＝7. 所以 m＝2或m＝－3(舍去)． 答案：2 2??29＋3（t－3），0≤t＜3， 3．若一物体的运动方程为s＝?2(路程 ??3t＋2，t≥3 单位：m，时间单位：s)．求： (1)物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度； (2)物体在t＝1 s时的瞬时速度． 5
高中数学人教A版第三章3.1-3.1.2导数的概念
