2020-2021中考数学压轴题专题相似的经典综合题含答案解析
一、相似
1．设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形．以B为圆心，BD长为半径的⊙B与AB相交于F点，延长EB交⊙B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD．
求证：
（1）AD是⊙B的切线； （2）AD=AQ； （3）BC2=CF?EG．
【答案】（1）证明：连接BD，
∵四边形BCDE是正方形， ∵C为AB的中点，
∴∠DBA=45°，∠DCB=90°，即DC⊥AB， ∴CD是线段AB的垂直平分线， ∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA=45°， ∴∠ADB=90°， 即BD⊥AD， ∵BD为半径， ∴AD是⊙B的切线
（2）证明：∵BD=BG， ∴∠BDG=∠G， ∵CD∥BE，
∴∠CDG=∠G，
∴∠G=∠CDG=∠BDG= ∠BCD=22.5°，
∴∠ADQ=90°﹣∠BDG=67.5°，∠AQB=∠BQG=90°﹣∠G=67.5°， ∴∠ADQ=∠AQD， ∴AD=AQ
（3）证明：连接DF， 在△BDF中，BD=BF， ∴∠BFD=∠BDF， 又∵∠DBF=45°， ∴∠BFD=∠BDF=67.5°， ∵∠GDB=22.5°，
在Rt△DEF与Rt△GCD中，
∵∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE，∠DCF=∠E=90°， ∴Rt△DCF∽Rt△GED， ∴
,
又∵CD=DE=BC， ∴BC2=CF?EG．
【解析】【分析】（1）连接BD，要证AD是圆B的切线，根据切线的判定可知，只须证明∠ADB=∠DBC=∠CDB=∠∠ADB=
即可。由正方形的性质易得BC=CD，∠DCB=∠DCA=，根据点C为AB的中点可得BC=CD=AC，所以可得∠ADC=
，，则
，问题得证；
-∠G，∠ADQ=
-
（2）要证AQ=AD，需证∠AQD=∠ADQ。由题意易得∠AQD=AQ=AD；
∠BDG，根据等边对等角可得∠G=∠BDG，由等角的余角相等可得∠AQD=∠ADQ，所以（3）要证乘积式成立，需证这些线段所在的两个三角形相似，而由正方形的性质可得CD=DE=BC，所以可知BC、CF、EG分别在三角形DCF和三角形GED中，连接DF，用有两对角对应相等的两个三角形相似即可得证。
2．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.
（1）若△ABD≌△BFO，求BQ的长； （2）求证：FQ=BQ 【答案】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ 连接 ,
.
，
均为半圆切线，
≌
，
则 ∴四边形 ∵
∴DQ∥ ，
均为半圆切线，
为平行四边形 ∴
∽
，
，
∴ ∥ ， ∴四边形
，
为菱形，
（2）证明：易得 ∴ = ， ∴ ∵ ∴ 过 点作
. 是半圆的切线，
. 于点 ，
则
.
在 ∴ 解得： ∴ ∴
中，
， ，
，
【解析】【分析】（1）连接OP,由ΔABD≌ΔBFO可得AD=OB，由切线长定理可得AD=DP，于是易得OP=OA=DA=DP，根据菱形的判定可得四边形DAOP为菱形，则可得DQ∥AB，易得四边形DABQ为平行四边形 ，根据平行四边形的性质可求解；
（2）过Q点作QK⊥AM于点K，由已知易证得ΔABD∽ΔBFO，可得比例式的关系，则根据FQ=BF?BQ可得FQ与AD的关系，从而结论得证。
，可得
BF与AD的关系，由切线长定理可得AD=DP,QB=QP ，解直角三角形DQK可求得BQ与AD
3． （1）问题发现
如图1，四边形ABCD为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF的两条直角边PE，PF分别交BC，DC于点M，N，当PM⊥BC，PN⊥CD时， =________（用含a，b的代数式表示）． （2）拓展探究
在（1）中，固定点P，使△PEF绕点P旋转，如图2， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决
如图3，四边形ABCD为正方形，AB=BC=a，点P在对角线AC上，M，N分别在BC，CD上，PM⊥PN，当AP=nPC时，（n是正实数），直接写出四边形PMCN的面积是________（用含n，a的代数式表示） 【答案】（1）
（2）解：如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，
则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90° ∵Rt△PEF中，∠FPE=90° ∴∠GPM=∠HPN ∴△PGM∽△PHN ∴
,
由PG∥AB，PH∥AD可得， ∵AB=a，BC=b ∴ ∴
，即 ，
,
故答案为
（3）∴AB⊥BC， ∵PM⊥BC，
【解析】【解答解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴△PMC∽△ABC ∴
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD=90°， ∵PM⊥BC，PN⊥CD， ∴∠PMC=∠PNC=90°=∠BCD， ∴四边形CNPM是矩形， ∴CM=PN， ∴
，
故答案为 ；
（ 3 ）∵PM⊥BC，AB⊥BC ∴△PMC∽△ABC
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