数学实验教程实验(级数)

实验9 级数

实验目的

1．理解幂级数的概念，并会用软件将函数展开成幂级数 2．理解Fourier级数的概念，并将函数展开成Fourier级数

实验准备

1．数项级数、幂级数的收敛性判断； 2．幂级数的展开、级数求和； 3．Fourier级数的概念、展开方法；

实验内容

1．函数的幂级数展开 2．收敛级数的和 3．Fourier级数展开

软件命令

表9-1 Matlab级数操作命令

函数名称 syms sym taylor symsum subs plot

调用格式 syms 变量名1，变量名2,… sym('x',…) taylor() symsum(s,v,a,b) subs(s,old,new) plot(x1,y1,'options',x2,y2,'options',…) 说 明 定义符号变量 定义符号变量 幂级数展开 级数求和 替换求值 绘制散点图 实验示例

【例9.1】级数观察

观察下列级数的部分和序列的变化趋势，并求和。

?1n11. ?； 2. ?(?1)。 nnn?1n?1?【步骤】：

Step1：计算部分和Sn； Step2：描点观察。 【程序】：

clear

clc clf

for n=1:100 for k=1:n

p1(k)=1/k;

p2(k)=(-1)^k/k; end

s1(n)=sum(p1); s2(n)=sum(p2); end

plot(s1) plot(s2) syms i;

symsum(1/i,i,1,inf))

symsum((-1)^i/i,i,1,inf))

【输出】：

图 9-1 部分和序列收敛性观察

级数（1）发散；调和级数（2）收敛，收敛于ln2。 【例9.2】调和级数实验—欧拉常数

记H(n)?1，C(n)?H(n)?lnn，研究C(n)的极限值是否存在。 ?i?1in【程序】：%图形观察

h(1)=1;

for i=2:10^5

h(i)=h(i-1)+double(1/i); c(i)=h(i)-log(i); end plot(c)

% 求极限

syms k n

limit(symsum(1/k,k,1,n)-log(n),n,inf) 【例9.3】函数的幂级数展开

将下列函数在指定点处展开成幂级数，并计算近似值，至少保留三位小数。 1．f(x)?31?x,x0?1,39； 2．f(x)?arctan1?x1,x0?1,arctan； 1?x23．f(x)?sin(x?1),x0?0,sin1。

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【步骤】：

Step1：利用函数 taylor(f,n,v,a)将函数f(x)在指定点处展开； Step2：利用函数subs(s)求出近似值。 【输出】：略。 【例9.4】级数求和

求下列幂级数的和函数。

??x2n?1xn1．?（积分）； 2． ?（微分）；3．?n(n?1)xn（积分）。

n?1n?12n?1n?1n(n?1)?【步骤】：

Step1：定义通项 f(n)；

Step2：利用symsum(f,n,1,inf)求级数的和。 【程序】：

clear

clc

syms n x;

f1=x^(2*n-1)/(2*n-1); 【输出】：

s1 =1/2*log((1+x)/(1-x)) s2 =1-(x-1)/x*log(1-x) s3 =-2*x/(x-1)^3

【例9.5】Fourier级数展开及其和函数的逼近

设f(x)是以2?为周期，振幅为1的方波函数，它在[??,?]上的表达式为

s1=symsum(f1,n,1,inf);

f2=x^n/(n*(n+1));

s2=symsum(f2,n,1,inf); f3=n*(n+1)*x^n;

s3=symsum(f3,n,1,inf);

??1,???x?0 f(x)??1,0?x???试将f(x)展开成Fourier级数，并画出图形观察该函数的部分和逼近f(x)的情形。 【原理】：

以2l为周期的函数f(x)的Fourier级数为

f(x)a0?n?xn?x??(ancos?bnsin)， 2n?1ll