2024年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国Ⅲ卷
理科数学
一、选择题
y)|x，y?N*，y1.已知集合A?{(x，（ ） A.2 2.复数A.?B.3
1的虚部是（ ） 1?3iy)|x?y?8}，则Ax}，B?{(x，B中元素的个数为
C.4 D.6
3 10B.?1 10C.
1 10D.
3 104i?1p2，p3，p4，且?pi?1，则下面四3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A.p1?p4?0.1，p2?p3?0.4 C.p1?p4?0.2，p2?p3?0.3
B.p1?p4?0.4，p2?p3?0.1 D.p1?p4?0.3，p2?p3?0.2
4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)（t的单位：天）的Logistic模型：I(t)?K1?e?0.23(t?53)，其
中K为最大确诊病例数.当I(t*)?0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t?约为（ln19?3）（ ） A.60
B.63
C.66
D.69
E两点，若OD?OE，y2?2px(p?0)交于D，5.设O为坐标原点，直线x?2与抛物线C：则C的焦点坐标为（ ）
10) A.(，410) B.(，20) C.(1，0) D.(2，a?b?（ ） b满足|a|?5，|b|?6，a?b??6，则cosa，6.已知向量a，A.?31 35B.?19 35C.
17 35D.
19 357.在ABC中，cosC?1A. 9
2，AC?4，BC?3，则cosB?（ ） 31B. 3C.
1
1 2D.
2 3
8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A.6?42 B.4?42 C.6?23 D.4?23 π9.已知2tan??tan(??)?7，则tan??（ ）
4A.?2 B.?1 C.1 D.2
110.若直线l与曲线y?x和圆x2?y2?都相切，则l的方程为（ ）
5A.y?2x?1 B.y?2x?1 2C.y?1x?1 2D.y?11x? 22x2y211.设双曲线C：2?2?1(a?0，b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是C
ab上一点，且F1P?F2P.若PF1F2的面积为4，则a?（ ） A.1
B.2
C.4
D.8
12.已知55?84，134?85.设a?log53，b?log85，c?log138，则（ ） A.a?b?c 二、填空题
?x?y0，?13.若x，y满足约束条件?2x?y0，则z?3x?2y的最大值为________.
?x1，?B.b?a?c C.b?c?a D.c?a?b
214.(x2?)6的展开式中常数项是___________（用数字作答）.
x15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________. 16.关于函数f(x)?sinx?1有如下四个命题： sinx①f(x)的图像关于y轴对称.
2
②f(x)的图像关于原点对称. ③f(x)的图像关于直线x?④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________. 三、解答题
17.设数列{an}满足a1?3，an?1?3an?4n.
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn.
18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
(200，400](400，600]π对称. 2 1（优） 2（良） 3（轻度污染） 4（中度污染） [0，200] 16 10 7 2 25 12 8 0 2 5 6 7 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2?2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
空气质量好 空气质量不好 2人次 400 人次?400
n(ad?bc)2附：K?，
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)19.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE?ED1，
3
BF?2FB1.
（1）证明：点C1在平面AEF内；
（2）若AB?2，AD?1，AA1?3，求二面角A?EF?A1的正弦值.
x2y21520.已知椭圆C：?2?1(0?m?5)的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点.
25m4（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线x?6上，且|BP|?|BQ|，BP?BQ，求APQ的面积. 11f())处的切线与y轴垂直. 21.设函数f(x)?x3?bx?c，曲线y?f(x)在点(，22（1）求b；
（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1. ?x?2?t?t2，22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?tt?1），C与坐标2（为参数且y?2?3t?t?轴交于A，B两点. （1）求|AB|；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程. 23.设a，b，c?R，a?b?c?0，abc?1. （1）证明：ab?bc?ca?0；
bc}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}（2）用max{a，，34.
4
参考答案
1.答案：C 解析： 2.答案：D 解析： 3.答案：B 解析： 4.答案：C 解析： 5.答案：B 解析： 6.答案：D 解析： 7.答案：A 解析： 8.答案：C 解析： 9.答案：D 解析： 10.答案：D 解析： 11.答案：A 解析： 12.答案：A 解析： 13.答案：7 解析： 14.答案：240 解析：
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2024年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试卷 全国卷（含答案）
