当x?2时，P?2,2，Q??uuuruuur2,?2，此时OP?OQ?0
?uuuruuur?OP?OQ ??POQ?90o
o当x??2时，同理可得?POQ?90
②当直线PQ斜率存在时，设PQ方程为：y?kx?m，即kx?y?m?0
Q直线与圆相切 ?mk?12?2，即m2?2k2?2
?kx?y?m?0?222联立?x2y2得：?1?2k?x?4kmx?2m?6?0
?1??3?64km2m2?6 设P?x1,y1?，Q?x2,y2? ?x1?x2??，x1x2?21?2k21?2kuuuruuur?OP?OQ?x1x2?y1y2?x1x2??kx1?m??kx2?m??1?k2x1x2?km?x1?x2??m2
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22综上所述：?POQ为定值90o 19．(本题满分16分)
设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?1，且anSn?1?an?1Sn?an?1??an对一切n?N*都成立.
(1)当??1时.
①求数列?an?的通项公式；
②若bn??n?1?an，求数列?bn?的前n项的和Tn；
(2)是否存在实数?，使数列?an?是等差数列.如果存在，求出?的值；若不存在，说明理由.
n-1n【答案】(1)①an=2；②Tn?n?2；(2)存在，0.
【解析】(1)①若??1，因为anSn?1?an?1Sn?an?1??an，则?Sn?1?1?an??Sn?1?an?1，a1?S1?1.
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又∵aS?an?1，∴
S2?1S3S?1a2a3an?0，Sn?0，∴
Sn?1?1n?1anS??1?????n?1???????n?1， 1?1S2?1Sn?1a1a2an化简，得Sn?1?1?2an?1. ① ∴当n?2时，Sn?1?2an. ② ②－①，得aan?1n?1?2an，∴
a?2?n?2?. n∵当n?1时，a2?2，∴n?1时上式也成立，
∴数列?an-1n?是首项为1，公比为2的等比数列，an=2.
②因为bn??n?1?an，∴bn??n?1??2n?1
所以T2?20?3?21?4?22?L?n?2n?2?(n?1)?2n?1n? 所以2T123n?1nn?2?2?3?2?4?2?L?n?2?(n?1)?2
将两式相减得：
?Tn?2?21?22?L?2n?1?(n?1)?2n
2(1?2n?1?2?)1?2?(n?1)?2n??n?2n
所以Tnn?n?2
(2)令n?1，得a22???1.令n?2，得a3????1?. 要使数列?an?是等差数列，必须有2a2?a1?a3，解得??0. 当??0时，Sn?1an??Sn?1?an?1，且a2?a1?1. 当n?2时，Sn?1?Sn?Sn?1???Sn?1??Sn?1?Sn?，
整理，得S2n?Sn?Sn?1Sn?1?Sn?1，
Sn?1Sn?S1?1S，
n?1?n从而S2?1Sn?1S3S4Sn?1S?S3?1S????????????， 1?12?1Sn?1?1S2S3Sn化简，得Sn?1?Sn?1，所以an?1?1.
12
综上所述，an?1n?N， 所以??0时，数列?an?是等差数列.
20. (本题满分16分) 已知函数m(x)?xlnx.
2（1）设f(x)?a[m?(x)?1]?x(a?0)，若函数f(x)恰有一个零点，求实数a的取值范围；
?*?b（2）设g(x)??b[m?(x)?1]?x(b?0)，对任意x1,x2?[,e]，有g(x1)?g(x2)?e?2成立，求实数b1e的取值范围.
a2x2?a. 【解析】（1）函数f?x??alnx?x?a?0?的定义域为?0,???，∴f??x???2x?xx2①当a?0时，f??x??0，所以f?x?在?0,???上单调递增，
1????1??取x?e，则f?ea???1??ea??0，
0????1?a2（或：因为0?x0?112所以f?x0??alnx0?x0?alnx0 ?a?aln?a?0.）因为f?1??1，a且x0?时，eef?1??0，此时函数f?x?有一个零点. 所以f?x0?·②当a?0时，令f??x??0，解得x??aa.当0?x??时，f??x??0， 22?a?所以f?x?在??0,?2??上单调递减；
????aa??，??当x??时，f?x??0，所以f?x?在?上单调递增. ???22???a?aa?a?ln????1，a??2e. f??aln???0要使函数f?x?有一个零点，则?，即??2?22?2???综上所述，若函数f?x?恰有一个零点，则a??2e或a?0. （2）因为对任意x1,x2??,e?，有g?x1??g?x2??e?2成立，
e?1??? 13
因为g?x1??g?x2?? ??g?x???max???g?x???min，所以??g?x???max???g?x???min?e?2.
bxb?1?bb?1. 所以g?x???blnx?x，所以g??x???bx?xxb??当0?x?1时，g??x??0，当x?1时，g??x??0，
，e上单调递增，?所以函数g?x?在?,1?上单调递减，在?1?g?x???min?g?1??1， e∵g???b?e?1?????1??e??b与g?e???b?e，所以??g?x???max?max?g?e?,g?e??.
b??1??????b?b设h?b??g?e??g??? e?e?2b(b?0)，
?1??e?则h??b??eb?e?b?2?2eb?e?b?2?0，
???上单调递增，故h?b??h?0?， 所以h?b?在?0，b?gx?ge??b?e. 所以g?e??g??.从而???????max?1??e?所以?b?eb?1?e?2即eb?b?e?1?0,
设??b??e?b?e?1(b?0)，则???b??e?1.当b?0时，???b??0，
bb???上单调递增.又??1??0， 所以??b?在?0，所以eb?b?e?1?0，即??b????1?，解得b?1.因为b?0， 所以b的取值范围为?0,1.
?数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则
按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
14
设a，b∈R，若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A＝?91＝0，求实数a，b的值．
?30?对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－???1b?【解析】设矩阵A对应的变换把直线l上的任意点P(x，y)变成直线l′上的点P1(x1，y1)， 则??3x?x1?30??x??x1?＝，即，因为9x1＋y1－91＝0，所以27x＋(－x＋by)－91＝0，即26x＋???y??y??x?by?y?1b1?????1??26b?91?=，解得a＝2，b＝13. a1?7by－91＝0.因为直线l的方程也为ax＋y－7＝0，所以B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
??x?2cos?曲线C的参数方程为?（?为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正
??y?3sin?半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为：?(cos??2sin?)?6. （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最小值、并求取最小值时的P点坐标.
3??x2y225【答案】（1）（2）， P?1,??. ??1，x?2y?6?0；
2?5?43x2y2【解析】（1）由题意可得：曲线C普通方程为：??1
43直线l:??cos??2sin????cos??2?sin??6，化为直角坐标方程为：x?2y?6?0 （2）设点P2cos?,3sin?，则点P到直线l的距离为：
?????4sin?????6 2cos??23sin??623sin??2cos??66??d???555???Qsin???????1,1?
6??????4sin?????6??2,10?
6???3??2525，此时P?1,??. ?d?25，故点P到直线l的距离的最小值为：2?5?5 15
2020年6月高考大数据精选模拟卷数学05(江苏卷)(满分冲刺篇)(解析版)
