核心考点解读——直线与圆
直线的倾斜角与斜率（II） 直线与方程（II） 直线的位置关系（II） 圆与方程（II） 直线与圆、圆与圆的位置关系（II） 1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目一般在选择题、填空题中出现，考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆的位置关系等. 2.从考查内容来看，主要考查直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系，及直线、圆与其他知识点相结合. 3.从考查热点来看，直线与圆的位置关系是高考命题的热点，通过几何图形判断直线与圆的位置关系，利用代数方程的形式进行代数化推理判断，是对直线与圆位置关系的最好的判断，体现了数形结合的思想. 1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：??[0,π).直线的斜率：k?tan?(??)；过两点y1?y2. x1?x2π2P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率为k?(2)掌握k?tan?(??[0,)斜率求倾斜角. π2π(,π))的图象，能够通过倾斜角表示斜率，也能够利用2(3)当??[0,)时，?越大，直线的斜率也越大；当??(,π)时，?越大，直线的斜率也越大. (4)所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. 2.直线与方程 (1)点斜式：y?y0?k(x?x0)； 斜截式：y?kx?b； π2π2两点式：y?y1x?x1?； y2?y1x2?x1
截距式：xy??1(ab?0)； ab一般式：Ax?By?C?0. (2)能够根据条件选用合适的直线方程形式表示直线，知道点斜式、斜截式、两点式、截距式的适用条件，并由此考虑特殊情况下的直线是否存在,如在点斜式中，斜率不存在时直线表示为x?x0等. 3.两条直线的位置关系 (1)两条直线的位置关系：相交、平行、重合.能够从直线的斜截式、一般式的角度，结合直线的斜率和截距进行判断；能够通过联立方程，通过解方程组的角度进行判断. (2)理解直线系方程 已知直线l:Ax?By?C?0，则 与l平行的直线系方程为Ax?By?m?0(m?C)； 与l垂直的直线系方程为Bx?Ay?n?0. 已知直线l1:A1x?B1y?C1?0与l2:A2x?B2y?C2?0相交，则过这两条直线的交点的直线系方程为?A（其中不包括直线1x?B1y?C1????A2x?B2y?C2??0A2x?B2y?C2?0）. 通过待定系数的方式求解相关直线方程. (3)点到直线的距离 已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则PP12?(x1?x2)?(y1?y2). 已知点P(x0,y0)，直线l:Ax?By?C?0，则点P到直线l的距离为22d?Ax0?By0?CA?B22. 理解并掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式，并能作简单的应用. 4.圆与方程 222(1)圆的标准方程：(x?x0)?(y?y0)?r； (2)圆的一般方程：x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F?0). 注意：能够从圆的定义理解、推理得到圆的方程.根据圆的标准方程可以直接确定圆2222
的圆心和半径，标准方程与一般方程可以进行互化，知道x?y?Dx?Ey?F?0不一定是圆的方程，必须满足条件D?E?4F?0. 5.直线与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离. (2)判断直线与圆的位置关系的方法： 几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r进行比较判断.若d?r，则相离；若2222d?r，则相切；若d?r，则相交. 代数法：将圆的方程与直线的方程联立，消元后，得到关于x或y的方程，通过判别式?进行判断.若??0，则相交；若??0，则相切；若??0，则相离. (3)直线与圆相交所得的弦长 i)利用圆心到直线的距离、半径与弦长的一半构造直角三角形求解； ii)将直线的方程与圆的方程联立，结合弦长公式计算. 弦长公式：AB?6.圆与圆的位置关系 设两圆心之间的距离为d，两圆半径分别为R,r，若d?R?r，则两圆外离；若(1?k2)x1?x2?(1?1)y1?y2. 2kd?R?r，则两圆外切；若R?r?d?R?r，则两圆相交；若d?R?r，则两圆内切；若d?R?r，则两圆内含.
1.(2016高考新课标I，理4)圆x2?y2?2x?8y?13?0的圆心到直线ax?y?1?0的距离为1，则a= A．?4 3B．?3 4C．3
D．2
【答案】A
【解析】圆的方程可化为(x?1)?(y?4)?4，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得
22d?a?4?14?1，解得a??，故选A．
3a2?1【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法：
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．
若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d [KS5UKS5U] (2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个 数(也就是方程组解的个数)来判断． 如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离； 如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切； 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交． 提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法． 222. (2016高考新课标III，理16)已知直线l：mx?y?3m?3?0与圆x?y?12交于A，B两点，过A，B 分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若AB?23,则|CD|?_________________. 【答案】4 【解析】因为|AB|?23，且圆的半径为r?23，所以圆心(0,0)到直线mx?y?3m?3?0的距离为 r2?(|AB|233|3m?3|)?3，则由x?23，所以，代入直线l的方程，得y??3，解得m??2233m?1直线l的倾斜角为30?，由平面几何知识知在梯形ABDC中，|CD|?|AB|?4． cos30?【名师点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决． x2?y2?1上，过M作x轴的垂线，垂3．（2017高考新课标II，理20）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2足为N，点P满足NP?2NM． （1）求点P的轨迹方程； （2）设点Q在直线x??3上，且OP?PQ?1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． 【解析】（1）设P?x,y?,M?x0,y0?，设N?x0,0?，NP??x?x0,y?,NM??0,y0?． 2NM得x0由NP??x,y0?2y． 2x2y2??1． 因为M?x0,y0?在C上，所以22因此点P的轨迹方程为x?y?2． （2）由题意知F??1,0?．设Q??3,t?,P?m,n?， 则OQ???3,t?,PF???1?m,?n?,OQ?PF?3?3m?tn，OP??m,n?,PQ???3?m,t?n?． 22 由OP?PQ?1得?3m?m2?tn?n2?1，又由（1）知m2?n2?2，故3?3m?tn?0． 所以OQ?PF?0，即OQ?PF．又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法： （1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0． （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程． （3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． （4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程． 4．（2017高考新课标III，理20）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆. （1）证明：坐标原点O在圆M上； （2）设圆M过点P?4,?2?，求直线l与圆M的方程. ?x?my?2,2【解析】由?2 可得y?2my?4?0，则y1y2??4. ?y?2x2y12y2?y1y2??4. ,x2?又x1?，故x1x2?2242因此OA的斜率与OB的斜率之积为故坐标原点O在圆M上. y1y2?4????1，所以OA?OB. x1x24（2）由（1）可得y1?y2?2m,x1?x2?m?y1?y2??4?2m?4. 2故圆心M的坐标为m2?2,m，圆M的半径r????m2?2??m2. 2由于圆M过点P?4,?2?，因此AP?BP?0，故?x1?4??x2?4???y1?2??y2?2??0， 即x1x2?4?x1?x2??y1y2?2?y1?y2??20?0， 由（1）可得y1y2??4,x1x2?4. 2所以2m?m?1?0，解得m?1或m??1. 2当m?1时，直线l的方程为x?y?2?0，圆心M的坐标为?3,1?，圆M的半径为10，圆M的方程为 ?x?3???y?1?22?10.
高考理数考前20天终极冲刺攻略： 直线与圆 含答案解析
