?y?1?（13）若x、y满足?x?y?1?0，则z?3x?y的最小值为 .
?x?y?1?0?【答案】1
【解析】画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线z?两条直线y?1与x?y?1?0的交点(0,1)时，z取得最小值1.
【考点】本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题，正确画图与平移直线是解答这类问题的关键.
（14）顾客请一位工艺师把A、B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，
每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下： 工序 时间 原料 原料A 原料B
则最短交货期为 工作日. 【答案】42
【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为6?15?21?42天. 【考点】本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑思维能力，考查分析问题与解决问题的能力. 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。 （15）（本小题13分）
已知?an?是等差数列，满足a1?3，a4?12，数列?bn?满足b1?4，b4?20， 且?bn?an?为 等比数列.
（Ⅰ）求数列?an?和?bn?的通项公式； （Ⅱ）求数列?bn?的前n项和. （15）（共13分）
解：（Ⅰ） 设等差数列?an?的公差为d，由题意得d?L?． 所以an?a1??n?1?d?3n?n?1，2，3x?y可得，当直线经过
粗加工 精加工 9 6 15 21 a4?a112?3??3 33设等比数列bn?an的公比为q，
??由题意得q3?b4?a420?12??8，解得q?2． b1?a14?3所以bn?an??b1?a1?qn?1?2n?1． L从而bn?3n?2n?1?n?1，2，?
L?． （Ⅱ）由⑴知bn?3n?2n?1?n?1，2，1?2n3n?1数列?3n?的前n项和为n?n?1?，数列2的前n项和为1×?2n?1．
1?22??3所以，数列?bn?的前n项和为n?n?1??2n?1．
2（16）（本小题13分）
???函数f?x??3sin?2x??的部分图象如图所示.
6??（Ⅰ）写出f?x?的最小正周期及图中x0、y0的值； （Ⅱ）求f?x?在区间?? （16）（共13分）
解：（Ⅰ） f?x?的最小正周期为π
x0?7π． 6yy0????,??上的最大值和最小值. ?212?Ox0xy0?3
π?π?5π?π?（Ⅱ） 因为x???，??，所以2x????，0?．
12?6?6?2?于是当2x?当2x?
（17）（本小题14分）
ππ?0，即x??时，f?x?取得最大值0； 612πππ??，即x??时，f?x?取得最小值?3． 623如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱垂直于底面，
A1EB1C1AB?BC，AA1?AC?2，
E、F分别为A1C1、BC的中点.
（Ⅰ）求证：平面ABE?平面B1BCC1； （Ⅱ）求证：C1F//平面ABE；
ABFC（Ⅲ）求三棱锥E?ABC的体积. （17）（共14分）
解：（Ⅰ）在三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1?底面ABC．
所以BB1?AB． 又因为AB?BC． 所以AB?平面B1BCC1． 所以平面ABE?平面B1BCC1． （Ⅱ）取AB中点G，连结EG，FG．
因为E，F分别是A1C1，BC的中点， 1所以FG∥AC，且FG?AC．
2A1EB1C1因为AC∥AC11，且AC?AC11， 所以FG∥EC1，且FG?EC1． 所以四边形FGEC1为平行四边形． 所以C1F∥EG．
又因为EG?平面ABE，C1F?平面ABE， 所以C1F∥平面ABE．
（Ⅲ）因为AA1?AC?2，BC?1，AB?BC，
所以AB?AC2?BC2?3． 所以三棱锥E?ABC的体积
1113． V?S△ABC?AA1???3?1?2?3323ACGBF（18）（本小题14分）
从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计
分组 频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2 100 ?0，2? ?2，4? ?4，6? ?6，8? 10? ?8，12? ?10，14? ?12，16? ?14，18? ?16，
ba 频数 组距
O24681012141618阅读时间（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读
时间的平均数在第几组（只需写出结论） （18）（共13分）
解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6?2?2?10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是
1?10?0.9． 100从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9． （Ⅱ）课外阅读时间落在组[4，6)的有17人，频率为0.17，所以
a?频率0.17??0.085． 组距2课外阅读时间落在组[8，10)的有25人，频率为0.25， 所以b?频率0.25??0.125． 组距2（Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组． （19）（本小题14分）
已知椭圆C：x?2y?4. （Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y?2，点B在椭圆C上，且OA?OB，求线段AB长度的最小值. （19）（共14分）
22）由题意，椭圆C的标准方程为x24?y2解：（Ⅰ2?1．
所以a2?4，b2?2，从而c2?a2?b2?2．
因此a?2，c?2．故椭圆C的离心率e?c2a?2． （Ⅱ）设点A，B的坐标分别为?t，2?，?x0，y0?，其中x0≠0．
因为OA?OB，
所以uOAuur?uOBuur?0， 即tx2y00?2y0?0，解得t??x． 0又x20?2y20?4，所以 AB2??x220?t???y0?2?
2????x2y?20?0x????y0?2?
02?x2?y24y000?x2?4
04?x22?4?x2?x200?0?2?x2?4 0?x202?82x2?4?0?x0≤4?． 0因为x208222?x2≥4?0?x0≤4?，且当x20?4时等号成立，所以AB≥8． 0故线段AB长度的最小值为22．
（20）（本小题13分）已知函数f(x)?2x3?3x. （Ⅰ）求f(x)在区间[?2,1]上的最大值；
（Ⅱ）若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y?f(x)相切，求t的取值范围；
（Ⅲ）问过点A(?1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y?f(x)相切？（只需写出结论）（20）（共13分）
解：（Ⅰ） 由f?x??2x3?3x得f??x??6x2?3.
令f??x??0，得x??22或x?22. 因为f??2???10，f????2?2???2，f??2??2????2，f?1???1 ????
2014年北京高考（文科）数学试题及答案（完美版）
