（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y?2，点B在椭圆C上，且OA?OB，求线段AB长度的最小值.
（20）（本小题13分）已知函数f(x)?2x?3x.
3（Ⅰ）求f(x)在区间[?2,1]上的最大值；
（Ⅱ）若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y?f(x)相切，求t的取值范围；
（Ⅲ）问过点A(?1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y?f(x)相切？（只需写出结论）
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文）（北京卷）答案及解析
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合A??0,1,2,4?，B??1,2,3?，则AIB?（ ）
（A）?0,1,2,3,4? （B）?0,4? （C）?1,2? （D）?3? 【答案】C
【解析】因为A?B?{1,2}，所以选C.
【考点】本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答集合题目的关键. （2）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）
（A）y?e （B）y?x （C）y?lnx （D）y?x 【答案】B
【解析】对于选项A，在R上是减函数；选项C的定义域为(0,??)；选项D，在(??,0)上是减函数，故选B.
【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.
?xrrrr（3）已知向量a??2,4?，b???1,1?，则2a?b?（ ）
（A）?5,7? （B）?5,9? （C）?3,7? （D）?3,9? 【答案】A
???【解析】因为2a?(4,8)，所以2a?b?(4,8)?(?1,1)?(5,7)，故选A.
【考点】本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题
（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
（A）1 （B）3 （C）7 （D）15 【答案】C
【解析】当k=0时，S?1；当k=1时，S?1?2?3； 当k=2时，S?3?4?7；当k=3时，输出S?7，故选C.
【考点】本小题主要考查程序框图的基础知识，难度不大，程序框图是高考新增内容，是高考的重点知识，熟练本部分的基础知识是解答的关键. （5）设a、b是实数，则“a?b”是“a?b”的（ ）
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件
22开始k=0，S=0否k<3是S=S+2k结束k=k+1输出S【答案】D
【解析】若a?0,b??2，则a?b，故不充分；
若a??2,b?0，则a2?b2，而a?b，故不必要，故选D.
【考点】本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键. （6）已知函数f?x??226?log2x，在下列区间中，包含f?x?零点的区间是（ ） x(A)?0,1? (B)?1,2? (C)?2,4? (D)?4,??? 【答案】C
【解析】因为f(2)?4?1?0,f(4)?3?2?0，所以由根的存在性定理可知，选C. 2【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
（7）已知圆C:?x?3???y?4??1和两点A??m,0?，B?m,0??m?0?，
若圆C上存在点P，使得?APB?90o，则m的最大值为（ ） （A）7 （B）6 （C）5 （D）4 【答案】B
【解析】由题意知，点P在以原点(0,0)为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两个圆有交点即可，所以m?1?5，故选B.
【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力. （8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p与加工
时间t（单位：分钟）满足的函数关系p?at?bt?c（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） （A）3.50分钟 （B）3.75分钟 （C）4.00分钟 （D）4.25分钟 【答案】B
【解析】由图形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数0.80.70.5p222p?at?bt?c的图象上，
2?9a?3b?c?0.7?所以?16a?4b?c?0.8，解得a??0.2,b?1.5,c??2.
?25a?5b?c?0.5?所以p??0.2t?1.5t?2??0.2(t?2O345t1521315)?，当t?=3.75时，p取最大值，故选B.
4416【考点】本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）若?x?i?i??1?2i?x?R?，则x? . 【答案】2
【解析】由题意知：xi?1??1?2i，所以由复数相等的定义知x?2
【考点】本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算，难度不大，复数是高考的重点，年年必考，熟练复数的基础知识是解答好本类题目的关键. （10）设双曲线C的两个焦点为?2,0，【答案】x?y?1 【解析】由题意知：c?方程为x?y?1.
【考点】本小题驻澳考查双曲线方程的求解、a,b,c的关系式，考查分析问题与解决问题的能力. （11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 . 【答案】22
【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长为2的等边三角形，棱锥
22的高为2，所以最长的棱长为2?2?22.
???2,0，一个顶点式?1,0?，则C的方程为 .
?222,a?1，所以b2?c2?a2?1，又因为双曲线的焦点在x轴上，所以C的
22【考点】本小题主要考查立体几何的三视图，考查同学们的空间想象能力，考查分析问题与解决问题的能力. （12）在?ABC中，a?1，b?2，cosC?21，则c? ；4sinA? .
【答案】2，
2正（主）视图111侧（左）视图15 8222俯视图【解析】由余弦定理得：c?a?b?2abcosC?5?2?2?1?4，故c?2；因为4cosA?154?4?17?，所以sinA?.
82?2?28【考点】本小题主要考查解三角形的知识，考查正弦定理，三角函数的基本关系式等基础止水，属中低档题目.
2014年北京高考（文科）数学试题及答案（完美版）
