高等数学基础总复习指导
一、教学要求
（一）函数、极限与连续
⒈理解函数的概念，了解分段函数．能熟练地求函数的定义域和函数值． ⒉了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)．
⒊熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形． ⒋了解复合函数、初等函数的概念．
⒌了解极限的概念，会求左右极限．
⒍掌握极限的四则运算法则.掌握求极限的一些方法． ⒎了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质． ⒏了解函数的连续性和间断点的概念．
⒐知道初等函数在其有定义的区间内连续的性质． （二）一元函数微分学
1.理解导数与微分概念，了解导数的几何意义．会求曲线的切线方程．知道可导与连续的关系．
2.熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则． 3.熟练掌握复合函数的求导法则．掌握隐函数的求导法．知道一阶微分形式的不变性．
4.了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法． 5.会用拉格朗日定理证明简单的不等式．
6.掌握用一阶导数求函数单调区间与极值点的方法，了解可导函数极值存在的必要条件．知道极值点与驻点的区别与联系．
7.掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主．
（三）一元函数积分学
1.理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数(微分)的关系．
2.熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法． 3.了解定积分的几何意义和定积分的性质．
4.了解原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数． 5.掌握定积分的换元积分法和分部积分法．
6.了解无穷积分收敛性概念，会计算较简单的无穷积分．
1
7.会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积．
二、综合练习
（一）单项选择题
⑴下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．
(A) f(x)?(x)2，g(x)?x (B) f(x)?x2，g(x)?x (C) f(x)?lnx3，g(x)?3lnx (D) f(x)?lnx4，g(x)?4lnx
⑵设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（ ）对称．
(A) y?x (B) y轴
(C) x轴 (D) 坐标原点 ⑶当x?0时，变量（ ）是无穷小量．
(A) 1x (B) sinxx
(C) ex?1 (D) x2x3
⑷设f(x)在点x?1处可导，则limf(1?2h)?f(1)h?0h?（ ）． (A) f?(1) (B) ?f?(1)
(C) 2f?(1) (D) ?2f?(1)
⑸函数y?x2?2x?3在区间(2,4)内满足（ ）． (A) 先单调上升再单调下降 (B) 单调上升 (C) 先单调下降再单调上升 (D) 单调下降
⑹若f(x)?cosx，则?f?(x)dx?（ ）． (A) sinx?c (B) cosx?c (C) ?sinx?c (D) ?cosx?c
π⑺?2?π(xcosx?2x7?2)dx?（ ）．
2 (A) 0 (B) π
(C) π2 (D) 2π
⑻若f(x)的一个原函数是1x，则f?(x)?（ ）．
(A) lnx (B) 2x3
(C) 1x (D) ?1x2
⑼下列无穷积分收敛的是（ ）． (A)
???0cosxdx (B)
????3x0edx
2
(C)
???1x1dx (D)
???11dx x
（二）填空题
x?2?x的定义域是 ． ⑴函数y?ln(2?x)?x?2x?0⑵函数y??的间断点是 ．
sinxx?0?1?x?x?0，在x?0处连续，则k? ．⑶若函数f(x)??(1?x) 3??x?kx?0 ⑷曲线f(x)?x?2在(2,2)处的切线斜率是 ． ⑸函数y?(x?2)2?1的单调增加区间是 ．
⑹若?f(x)dx?sin3x?c，则f(x)? ．
dx2⑺?edx? ． dx
（三)计算题
1⑴已知f(x?1)?x2?2x?3，求f(x),f(2),f()．
xtan6x⑵计算极限lim．
x?0sin5xx2?6x?5⑶计算极限lim2．
x??1x?4x?5sin(x?1)⑷计算极限lim2．
x?1x?2x?3sinx?lnx ⑸设y?，求y?． 2x ⑹设y?lnsin3x，求dy．
⑺设y?y(x)是由方程ey?ex?y3cosx确定的函数，求dy．
⑻计算不定积分?sinxx1dx． ⑼计算不定积分?x(1?lnx)edx． x2lnx⑾计算不定积分?2dx．
xdx．
⑽计算不定积分?1x⑿计算定积分?xe2xdx．
01 3
⒀计算定积分?x2lnxdx．
1e⒁计算定积分?elnxx1dx．
（四）应用题
⑴求曲线y2?2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短．
⑵圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为d，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
⑶某厂要生产一种体积为V的无盖圆柱形铁桶，问怎样才能使用料最省？ ⑷欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
（五）证明题
⑴试证：奇函数与奇函数的和是奇函数；奇函数与奇函数的乘积是偶函数． ⑵试证：奇函数与偶函数的乘积是奇函数． ⑶当x?0时，证明不等式x?arctanx． ⑷当x?1时，证明不等式ex?xe．
⑸证明：若f(x)在[?a,a]上可积并为奇函数，则?f(x)dx?0．
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三、综合练习答案
（一）单项选择题
⑴ C ⑵ D ⑶ C ⑷ D ⑸ B ⑹ B ⑺ D ⑻ B ⑼ B
（二）填空题
1⑴ [?2,1)?(1,2) ⑵x?0 ⑶ e ⑷ ⑸ (2,??) ⑹ 3cos3x
42⑺ ex
（三)计算题
1?4x26212⑴ x?4,0, ⑵ ⑶ ⑷ ?534x2xcosx?1?2sinx?2lnxex?y3sinx ⑸ ⑹ 3cotxdx ⑺ ydx 32xe?3ycosx⑻ ?2cosx?c ⑼ ln1?lnx?c ⑽ ?e?c ⑾ ?1xlnx1??c xx11⑿ (e2?1) ⒀ (2e3?1) ⒁ 4?2e
49（四）应用题
63d，高h?d ⑶底半径 ⑴ (1,2)和(1,?2) ⑵底半径r?33
4
r?3Vπ，高h?3Vπ ⑷ 底边长x?5，高h?2.5
高等数学基础样题
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1.函数y?2?x?2x 2的图形关于（ ）对称．
(A) 坐标原点 (B) y轴 (C) x轴 (D) y?x 2.在下列指定的变化过程中，（ ）是无穷小量．
(A) xsin1x(x?0) (B) xsin1x(x??) (C) lnx(x?0) (D) ex(x??) 3.下列等式中正确的是（ ）．
(A) d(1dxx)?lnxdx (B) d(lnx)?x (C) d(3x)?3xdx (D) d(x)?dxx
4.若?f(x)dx?F(x)?c，则?1xf(x)dx?（ ）． (A) F(x) (B) F(x)?c
(C) 2F(x)?c (D) 2F(x) 5.下列无穷限积分收敛的是（ ）．
(A) ???1dx (B) ???0ex1xdx (C) ???11xdx (D) ???11x2dx
二、填空题（每小题3分，共15分） 1.函数y?x?1ln(x?1)的定义域是 ．
? 2.若函数f(x)??1?(1?x)xx?0，在x?0处连续，则k? ．??x?kx?0 3.曲线f(x)?x在(1,1)处的切线斜率是 ．
4.函数y?ln(1?x2)的单调增加区间是 ． 5.?(cosx)?dx? ．
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高等数学基础样题
