复数的三角形式的运算(三)·教案示例
目的要求
1.掌握复数三角形式的乘方法则及棣莫佛公式. 2.能运用公式进行乘方的计算或化简. 内容分析
1.几个相同实数的乘积称作这个实数的乘方,几个相同复数的乘积则称作这个复数的乘方.对于代数形式的复数,其n次幂可以按照二项式展开,利用i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*)进行化简,可得一个代数形式的结果.对于三角形式的复数,其n次幂则可看成是n个复数的乘积.利用复数三角形式乘法公式扩展到有限个(n个)复数的情形,即可得其公式.
2.复数三角形式的乘方公式
公式的推导有两种办法:一是利用前面已证明过的一个公式
r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+i sinθ2)……rn(cosθn+isinθn) =r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)] 令其中的r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ,则可得乘方公式
[r(cosθ+i sinθ)]n=rn(cosnθ+i sinnθ)
第二种办法是先计算z2、z3、z4,猜想出zn的通式,然后用数学归纳法证明. 由公式即可知,复数的n(n为正整数)次幂的模等于这个复数的模的n次幂,它的辐角等于这个复数的辐角的n倍.
此公式也叫做棣莫佛公式. 3.棣莫佛公式的推广
1规定式子(cosθ+i sinθ)=,利用棣莫佛公式及幂
cosθ?isinθ?1运算律可得
[r(cosθ+i sinθ)]?n1?={[r(cosθ+i sinθ)]?1}n=??r(cosθ?isinθ11=n?r(cosθ?isinθ)nrn(cosθ?isinθ)? )??n=r?n(cosnθ-i sinnθ)=r?n[cos(-nθ)+i sin(-nθ)]规定式子[r(cosθ+i sinθ)]=1,则0
r0[cos(0θ)+i sin(0θ)]=r0(cos0+i sin0)=1.
∴[r(cosθ+isinθ)]0=r0[cos(0θ)+isin(0θ)] 因此,棣莫佛公式可以推广到n为任意整数. (推广的内容可以不必给学生讲) 4.复数三角形式乘方的几何意义
由乘法的几何意义,容易得到乘方的几何意义:复数z对应的向量旋转成nθ角(θ
>0时逆时针旋转,θ<0时顺时针旋转),模变为原来的n次方.(也不必给学生讲) 教学过程 1.复习引入
(1)复数三角形式的乘、除法公式及法则. (2)复数三角形式的乘、除法的几何意义. 2.提出问题
(1)复数代数形式的乘方运算方法
(2)复数三角形式的乘方运算应如何进行? 3.引入新课
(学生推导)乘方运算公式——棣莫佛公式. 讲解棣莫佛公式的特点及其作用. 4.应用举例
(1)例4 计算(3-i)6.
解法一:由二项式定理,得
5242333(3-i)6=(3)6-C16(3)i+C6(3)i-C6(3)i+24556C46(3)i-C63i+i
=27-543i-135+603i+45-63i-1=-64.
解法二:先将3-i化成三角形式,利用棣莫佛公式. ??11π11π??(3-i)6=?2?cos+i sin??66?? ??=26(cos11π+i sin11π)=64·(-1)
=-64.
点评:注意展开式方法与棣莫佛公式法的选择,要根据乘方的特点.一般来说,nθ为特殊角的或次数比较高的须用棣莫佛公式.
(2)补充例题
6(4?3i)2(?1?3i)10已知复数z=,求3i-|z|的模与辐角主值.
(1?i)12(3?i)4分析:应先求|z|,代入求解.
解:由复数乘方、乘法、除法性质,
|4?3i|2·|?1?3i|1052·210|z|===4 124124|1?i|·|3?i|(2)·(10)∴3i-|z|=3i-4=-4+3i.
|-4+3i|=5.
又-4+3i在第二象限.
3∴arg(-4+3i)=π-arctan.
4点评:对于乘法、除法、乘方的混合运算,一要注意选择代数形式或三角形式的公式;二要注意基本性质.
(3)补充例题
6n已知()+(3i)n=0,求正整数n的最小值.
3-i解:原等式化为
(6n)=-(3i)n, 3-i6即()n=-1, 33i+313n即(-i)=-1, 22ππn即[cos(-)+i sin(-)]=-1,33nπnπ即cos(-)+i sin(-)=-1,
33nπnπ∴cos(-)=-1,-=(2k+1)π,k∈Z.33∴n=-3(2k+1),k∈Z.
故正整数n的最小值为3. 5.课堂练习
教科书第218页练习第1、2题. 6.课堂小结
(学生小结)复数三角形式的乘方运算、棣莫佛公式. 布置作业
教科书习题5.6第8、9、10(1)题.
复数的三角形式的运算(三) 教案示例
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