复数的三角形式的运算(三)·教案示例
目的要求
1．掌握复数三角形式的乘方法则及棣莫佛公式． 2．能运用公式进行乘方的计算或化简． 内容分析
1．几个相同实数的乘积称作这个实数的乘方，几个相同复数的乘积则称作这个复数的乘方．对于代数形式的复数，其n次幂可以按照二项式展开，利用i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N*)进行化简，可得一个代数形式的结果．对于三角形式的复数，其n次幂则可看成是n个复数的乘积．利用复数三角形式乘法公式扩展到有限个(n个)复数的情形，即可得其公式．
2．复数三角形式的乘方公式
公式的推导有两种办法：一是利用前面已证明过的一个公式
r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋i sinθ2)……rn(cosθn＋isinθn) ＝r1r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)] 令其中的r1＝r2＝…＝rn＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ，则可得乘方公式
[r(cosθ＋i sinθ)]n＝rn(cosnθ＋i sinnθ)
第二种办法是先计算z2、z3、z4，猜想出zn的通式，然后用数学归纳法证明． 由公式即可知，复数的n(n为正整数)次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍．
此公式也叫做棣莫佛公式． 3．棣莫佛公式的推广
1规定式子(cosθ＋i sinθ)＝，利用棣莫佛公式及幂
cosθ?isinθ?1运算律可得
[r(cosθ＋i sinθ)]?n1?＝{[r(cosθ＋i sinθ)]?1}n＝??r(cosθ?isinθ11＝n?r(cosθ?isinθ)nrn(cosθ?isinθ)? )??n＝r?n(cosnθ－i sinnθ)＝r?n[cos(－nθ)＋i sin(－nθ)]规定式子[r(cosθ＋i sinθ)]＝1，则0
r0[cos(0θ)＋i sin(0θ)]＝r0(cos0＋i sin0)＝1．
∴[r(cosθ＋isinθ)]0＝r0[cos(0θ)＋isin(0θ)] 因此，棣莫佛公式可以推广到n为任意整数． (推广的内容可以不必给学生讲) 4．复数三角形式乘方的几何意义
由乘法的几何意义，容易得到乘方的几何意义：复数z对应的向量旋转成nθ角(θ
＞0时逆时针旋转，θ＜0时顺时针旋转)，模变为原来的n次方．(也不必给学生讲) 教学过程 1．复习引入
(1)复数三角形式的乘、除法公式及法则． (2)复数三角形式的乘、除法的几何意义． 2．提出问题
(1)复数代数形式的乘方运算方法
(2)复数三角形式的乘方运算应如何进行？ 3．引入新课
(学生推导)乘方运算公式——棣莫佛公式． 讲解棣莫佛公式的特点及其作用． 4．应用举例
(1)例4 计算(3－i)6．
解法一：由二项式定理，得
5242333(3－i)6＝(3)6－C16(3)i＋C6(3)i－C6(3)i＋24556C46(3)i－C63i＋i
＝27－543i－135＋603i＋45－63i－1＝－64．
解法二：先将3－i化成三角形式，利用棣莫佛公式． ??11π11π??(3－i)6＝?2?cos＋i sin??66?? ??＝26(cos11π＋i sin11π)＝64·(－1)
＝－64．
点评：注意展开式方法与棣莫佛公式法的选择，要根据乘方的特点．一般来说，nθ为特殊角的或次数比较高的须用棣莫佛公式．
(2)补充例题
6(4?3i)2(?1?3i)10已知复数z＝，求3i－|z|的模与辐角主值．
(1?i)12(3?i)4分析：应先求|z|，代入求解．
解：由复数乘方、乘法、除法性质，
|4?3i|2·|?1?3i|1052·210|z|＝＝＝4 124124|1?i|·|3?i|(2)·(10)∴3i－|z|＝3i－4＝－4＋3i．
|－4＋3i|＝5．
又－4＋3i在第二象限．
3∴arg(－4＋3i)＝π－arctan．
4点评：对于乘法、除法、乘方的混合运算，一要注意选择代数形式或三角形式的公式；二要注意基本性质．
(3)补充例题
6n已知()＋(3i)n＝0，求正整数n的最小值．
3－i解：原等式化为
(6n)＝－(3i)n， 3－i6即()n＝－1， 33i＋313n即(－i)＝－1， 22ππn即[cos(－)＋i sin(－)]＝－1，33nπnπ即cos(－)＋i sin(－)＝－1，
33nπnπ∴cos(－)＝－1，－＝(2k＋1)π，k∈Z．33∴n＝－3(2k＋1)，k∈Z．
故正整数n的最小值为3． 5．课堂练习
教科书第218页练习第1、2题． 6．课堂小结
(学生小结)复数三角形式的乘方运算、棣莫佛公式． 布置作业
教科书习题5．6第8、9、10(1)题．
复数的三角形式的运算(三) 教案示例
