?(c1?c2)cos??i(c1?c2)sin?
?Acos??Bsin?
其中A、B为重新定义的两个常数。因此，
?II?Acos(④根据边界条件，得到能量的量子化
2mE2mEx)?Bsin(x) ??边界条件：根据品优函数的要求，波函数必须是连续的，而且不能处处为0。 首先，在x=0处，波函数的值必须相等，才能保证波函数连续
lim?II?lim?I ? Acos(0)?Bsin(0)?0? A=0
x?0x?0由于A=0，所以，?II?Bsin(2mEx) ? 其次，在x=l处，波函数也必须相等
x?llim?II?lim?III ? Bsin(x?l2mEl)?0 ? ?2mEl??n? ?其中n为0或正整数，但n=0时得到E=0，波函数将处处为0，所以n只能是正整数，能量和波函数表达式为
E?nn?x) l2h28ml2n?1,2,3.... (1-4-13)
?II?Bsin(⑤根据归一化条件，确定待定系数B
????根据归一化条件：????dx?????dx?1，有
220l??????Idx??0?IIdx??l?IIIdx?1
222将?I, ?II,?III的表达式带入
2lB?0sin2(n?x)dx?1 l - 16 -
利用sin2t?(1?2cos2t)/2求积分，得到
B?2 lB不一定为实数，我们可以用任何绝对值为2/l的复数
B?2i?e l其中?为B的辐角。选取辐角为0，最后得到
?II?⑥波函数的正交归一性
2n?xsin() ll 现在，我们有一整套波函数，每一个对应于一个不同的能量，并用n表征之，n为从1起的整数，称为量子数。令下标i表示一个特定的波函数，其量子数为ni
?2ni?x??i??lsin(l)0?x?l (1-4-14)
?0其它区域?因为波函数是归一化的，
??*??????i?idx?????idx?1
2现在考虑采用不同的波函数?i和?j时此积分的值
nj?x2lni?xsin()sin()dx ?l0ll??*????i?jdx?令t??x/l，带入上式，并利用
sinnitsinnjt??[cos(nit?njt)?cos(nit?njt)]/2
可以得到
??*????i?jdx?0 i?j
这时我们说，当i?j时，波函数是正交的。
综合和式，波函数的正交归一性可以表示为
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????i?jdx??ij (1-4-15)
??*?ij称为克罗内克delta符号
?1对于i?j (1-4-16)
?0对于i?j?ij??推广到更复杂的体系，波函数的正交归一性可统一简写为
*??i?jd???ij (1-4-17)
⑦结果的讨论
I. 由于边界条件的限制，能量是量子化的，E中 n=1,2,3,...，称为量子数。n=1时有最低能量，称为零点能。每个E值称为一个能级，全体E值构成分立的能量谱。
每个能量对应着一个定态。n=1时为基态，n=2时为第一激发态，n=3时为第二激发态。 II. 根据(1-4-13)式的能级公式，相邻能级的间隔为
?E?(2n?1)h28ml2 (1-4-18)
说明m和l越大，能级间隔越小，对于宏观物体，能级间隔可以看作0，即能量是连续的。 III. 波函数是归一化的，表示在粒子在所有地方出现的几率之和为1。同时，波函数还是正交的。 IV. 用波函数和几率密度对坐标作图(课本p44的图1-3.3)，波函数值为0的点称为节点，粒子出现在节点处的几率为0。对于一个特定的波函数，0和l之间的结点数为n-1。
节点的存在表明，粒子可以从某处到另一处，无需经过中间的某点(即节点)。说明不能用宏观世界的语言描述微观世界。
V. 根据经典力学，固定能量的粒子在箱内恒速运动，任意一点找到的几率相同，而根据量子力学，n=1时在中点找到粒子的几率最大(参见几率密度图)。n每增加1，同时节点数增加1，极大和极小几率越来越靠近，最后，沿着x轴的几率变化几乎看不出来，趋于经典的几率密度均匀的结果，这样的结果，即在大量子数的极限情况下从量子力学过渡到经典力学，通称为玻尔的对应原理。
*对于波函数的一阶导数，在x=0处，?I’(0)=0，?II’(0)=1；在x=l处，?II’(l)=1或-1，?III’(l)=0，说明波函数的一阶导数在0和l处是不连续的,反映在波函数的图形上，x=0,l处出现尖点。这正如我们在讨论品优波函
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数的性质时所指出，若势能在某些位置发生了从有限到无限的无限跳跃，将导致波函数在该处的一阶导数不连续。在这里，x=0,l处势能发生了无限跳跃。
§1-5算符
1. 算符
算符的定义：算符是一种运算规则。算符作用在一个给定的函数上，将该函数变成另外一个对应的函数。算符上面通常加上抑扬符“?”。
?f(x)?f'(x)。?(2x2?ex)?4x?ex ??d/dx，?，D对x进行微分的算符写作D即D若函数f(x)可微，则D例如，
?是对一个函数乘以3的算符，则3?f(x)?3f(x)，例如，3?(2x2?ex)?6x2?3ex 令322?dx,?,exp,d/dx等等，都可以作为算符。
?f?B?f，则称A??B?和B?和B? ?是两个算符，若对于任意函数f都有A?相等，即A算符的等价性：设A??B?f?B?)f?A?f，即，两个算符分别作用于函数，再进行相加。 算符的加和：(A?)(2x?ex)?D?(2x?ex)?2?4ex?6x ??3?(2x?ex)?3例如，(D??B?，则A??C??B??C?。算符可以从等式的一端移到另外一端。 如果A?B?[B?)f?A?f]，即，先用右边的算符作用于函数，再用左边的算符作用于变换后的函数。 算符的乘积：(A?D?[D?f'(x)?3f'(x) ?)f(x)?3?f(x)]?3例如，(3?(B?)?(A?B? ?C?)C乘法结合律：算符的乘法满足乘法结合律。A?2?A?A?，算符的平方是自身的乘积。 算符的平方：A?2f(x)?(D?D?)f(x)?D?f'(x)?f''(x)，根据对算符等价性的定义，有D?2?d2/dx2 例如，D - 19 -
?n?A??A? 依此类推，算符的n次方是连续运用算符n次。A?B?是相同的算符。 ?和B?A?B?，即不满足乘法交换律。不能认为A??B?A算符的对易：一般情况下，A??D?x?D?，证明如下 例如，xdd??x?)f(x)?x?x?)f(x) ?D?[?)f(x)??D(xf(x)]?xf'(x) (D[xf(x)]?f(x)?xf'(x)?(1dxdx??x??D?x?x? ?D?，第二个式子表明两者的关系为D??1?D可以看出，x 为了说明两个算符是否满足乘法交换律，定义了一个对易子的概念：
?,B?B? (1-5-1) ?]?A??B?A[A?,B?]称为对易子。 [A?,B?]?0，则称A?B?，则[A?和B??B?A?是可对易的，否则就是不可对易的。 如果A?D?)f(x)，所以3?D?，3?和D?)f(x)?(D?3?x?)f(x)，所以??D?3?是可对易的。再如，(D?)f(x)?(x?D 例如，(3?x?，x?不可对易。 ??x?D?和DD 在后面我们将指出，算符的对易性质对描述体系的状态有重要意义。
??x?x?可以写为：D?x?1?xD?。 ??1?D? 单纯做乘法的算符，“?”可以省略。例如，D? 1称为单位算符，0称为零算符
2. 线性算符
线性算符的定义：
?满足 如果算符A?[f?g]?A?f?A?g A?[cf]?cA?f A?是线性算符，其中f和g是任意函数，c是任意常数。 则称A
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量子力学基础和原子结构
