戴维逊和革末发现，电子在单晶表面反射，呈现类似于X射线的衍射图案；G.P.汤姆逊则对多晶观察到电子的衍射行为。 德布罗意驻波：
电子绕核转动时产生一个驻波，波绕核一圈必须平滑的连接起来，否则因为干涉而抵消。因此轨道周长必须是波长整数倍，即
2?r?n? n=1,2,3… (1-2-2)
因而，轨道角动量
hh?n? (1-2-3) 2?M?pr??r?n
后面将会了解到，德布罗意驻波并不是正确的物理图像，但它对量子力学的建立颇具有启发性。
2. 实物微粒的波粒二象性
实物微粒既是粒子，同时又是波。必须由粒子和波两种角度去作出诠释，任何单方面的描述都是不完全的。
如，电子又是个粒子又是个波，但每次观察只展现出其中的一面，这里的关键是‘如何’观察它，而不是它‘究竟’是什么。如果采用光电效应的观察方式，它是个粒子；要是用双缝干涉实验来观察，那么它就是个波。 玻尔的互补原理：
因为存在着观测者对于被观测物的不可避免的扰动，主体和客体世界必须被理解成一个不可分割的整体。没有一个孤立地存在于客观世界的“事物”(being)，事实上一个纯粹的客观世界是没有的，任何事物都只有结合一个特定的观测手段，才谈得上具体意义。对象所表现出的形态，很大程度上取决于我们如何进行观察。对同一个对象来说，这些表现形态可能是互相排斥的，但必须被同时用于这个对象的描述中。
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3．充满不确定性的量子论??测不准原理(不确定原理) 测不准原理：
海森堡从光谱的频率和强度的经验资料出发，建立了矩阵量子力学。在矩阵力学中，物理量用矩阵表示，矩阵的乘法不满足乘法交换律，即A?B?B?A。海森堡据此认为：这暗示着在对某些物理量进行测量时，会对另外某些物理量产生影响，对于微观粒子，这种影响不能忽略，因而不可能同时准确测定。例如位置和动量，位置越准确，测量对动量造成的影响就越大，反之亦然。即，位置和动量不能同时准确测定，从电子的单缝衍射可以得到两者的不确定性满足如下近似关系(参见课本p23-25)：
?x??px～h (1-2-4)
除了坐标和动量，时间和能量也不能同时确定，遵循测不准关系。由于h非常小，只有6.626×10-34J?s，如果?x和?px的量级相同，两者都是在10-17数量级。因此对于宏观物体不必考虑测不准关系。
测不准关系给我们指出了使用经典粒子概念的一个限度，这个限度用普朗克常数h表示，在h可以视为0的情况下，量子力学回到经典力学。
从量子力学可以进一步证明，测不准关系的准确表达式是
1? (1-2-5) 2?x?px?
4.一维德布罗意波函数(一维自由粒子波函数) 自由粒子：不受任何外力的粒子。
平面简谐波：以机械波为例，平面简谐波在传播过程中，波面为平面，坐标为x处的振动质点离开平衡位置的位移y是时间的正弦或余弦函数
xxy(x,t)?Acos[2?(??vt)] 或 y(x,t)?Asin[2?(??vt)]
其中，A是质点振动的振幅，?是波长，v是频率。
为了数学上处理的方便，常把简谐波写成指数形式的虚函数，实际波动用实部表示
y(x,t)?Aei2?(x/??vt)
其中i??1。
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一维自由粒子波函数：自由粒子不受外力，(相对论)总能量为常数，动量的大小和方向不变，根据v=E/h以及德布罗意关系式?=h/p，自由粒子频率和波长将保持不变。一维自由粒子波函数可以用平面简谐波的函数表示。将前面的两个关系式带入平面简谐波的波函数表达式，得到一维自由粒子波函数? (x,t)
?(x,t)?Aei(pxx?Ext)/? (1-2-6)
§1-3波函数
1. 波函数
量子力学中用?(x,t)描述体系的状态，?(x,t)是粒子坐标和时间的函数，它包含着体系可确定的全部知识，称为波函数（或态函数）。“态用波函数?来描述”可以简单说成“态?”。
对于三维一粒子体系，波函数可表示为：?(x,y,z,t),或者? (q,t)，q代表粒子的空间坐标。
对于三维三粒子体系，其波函数表示为：?(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,t),也可简写为?(q1,q2,q3,t)、?(1,2,3,t) 、?(q,t)，这里q代表所有粒子的空间坐标。对更多粒子的体系，可依此类推。
2波函数的统计解释：波恩假设：?代表几率密度。
对于一维一粒子体系，?dx代表在t时刻、在x轴上x到x+dx之间找到粒子的几率，其中dx是无限小的长度。
2 对于三维一粒子体系，?dxdydz表示在t时刻、在x到x+dx、y到y+dy、z到z+dz的体积元内找到粒子的几率。
2 对于三维多粒子体系，?dx1dy1dz1...dxndyndzn表示在t时刻、同时在(x1, y1 z1)处以dx1, dy1,dz1为边的无限小的方形体积元内找到粒子1，…，在(xn, yn zn)处以dxn, dyn,dzn为边的无限小的方形体积元内找到粒子n的几率。
2 找到粒子的几率可简写成?d?，d?代表小体积元。
2根据波恩对波函数的统计解释，知道了态，不能准确预测位置测量的结果，只能预知各种可能结果出现的几率。量子力学本质上是统计性的。
*哥本哈根解释的基本内容：①测不准原理：限制了我们对微观事物认识的极限，对一个物理量的测量行为
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会对体系产生扰动，影响对另外某些物理量的测量结果，所以不是所有物理量都能同时准确测量。②互补原理：指出不存在孤立于观察者之外的一个纯粹的客观世界，测量手段决定了对象所表现的形态。尽管波动性和粒子性是互相排斥的，但这是由于宏观世界中建立的语言无法对微观世界进行准确描述造成的。我们必须同时用这两种形态来对微观粒子进行描述。③波函数的统计解释：告诉我们量子世界的本质是“随机性”。波函数?就是一种统计，它的平方代表了粒子在某处出现的几率密度。“电子出现在x位置”完全是一种随机的过程。 波函数的归一化条件：
对于一维一粒子体系，将坐标a和b之间划分为无数无限小的区间，对各区间内找到粒子的几率进行加和，就得到[a,b]之间找到粒子的几率，这正是定积分的定义：
2b?a?dx (1-3-1)
因为在x轴上必然能找到粒子，所以在x轴上找到粒子的几率为1
??????dx＝1 (1-3-2)
2当波函数满足上式条件时，称波函数是归一化的。
推广到三维多粒子体系，归一化条件中的积分必须遍及所有坐标的所有区域。 对于三维一粒子体系，有3个坐标
?????????????dxdydz?1
2 对于三维n体系体系，有3n个坐标
2?????????...????dx1dy1dz1...dxndyndzn?1
所以，归一化条件的一般表达式为
2??d??1 (1-3-3)
?d?表示积分区域遍及所有空间坐标的全部区域，注意，?d?表示一个定积分。
如果波函数?是未归一化的，则需要乘以一个适当的常数N使N?满足归一化条件。N称为归一化系数。根据归一化条件，有
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N2?1??d?2 (1-3-4)
求N的过程称为对波函数进行归一化。
2.品优(合格)波函数的要求
由于?具有几率密度的意义，因此波函数?需满足如下条件：
2①平方可积(有限)
波函数要进行归一化，这只有当积分??d?存在时才可以这样做。也就是说?必须是可积的。
22 对于非束缚态波函数，如自由粒子以及后面将提到的处于非束缚态的氢原子，其波函数不是平方可积的，通常也不要求进行归一化。(非束缚态是指粒子不受束缚的状态)
作为代替，有时也说波函数?要处处有限，这是因为处处有限的函数必然是平方可积的。但是，这是更为苛刻的说法，偶尔也会有波函数在原点处的值无限大，但仍平方可积。
???xxx
②单值
几率只可能有一个值，因此?必须单值，相应的要求?单值。
2尽管有时多值的波函数也满足几率为单值的要求，如，在某个坐标处，?＝{1/2, -1/2, i/2}，则?=1/4为单值，但我们通常仍要求波函数单值。
2?x
③连续
几率应连续变化，不应出现突跃，所以波函数必须是连续的。
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量子力学基础和原子结构
