2010年江苏省普通高等学校非理科专业
第十届高等数学（本科三级）竞赛题
一、填空题（每小题4分，共32分） 1) limsinx?sin?sinx?1 = 3x?06x2）y?arctanx2?extanx,则y??
??2xx2?etanx?secx? ?41?x2y?xlny?y?y?lnx?1?dyyx或2. 3） 设由x?y确定y?y?x?,则?
dxx?ylnx?x?x?lny?1?4）y?cosx,则y2?n?? 2n?1cos?2x???n?2?? ?ex1?xx?C 5） ?2edx? ?xx6）设 z?f?2x?y,??x????, f可微，f1?3,2??2,f2?3,2??3,y?则
dz?x,y???2,1??7dx?8dy
7) 设函数 F?u,v? 可微，由 Fx?z,y?z2?2??0确定z?z?x,y?,则
?z?z1?? ? ?x?y2z8）设 D:x2?y2?2x,y?0,则??x2?y2dxdy?
D16 9二、（10分）设a为正常数，使得 x2?eax 对一切正数x成立，求常数a的 最小值。
解x2?eax?2lnx?ax?a?2lnx, （3分） x要求a的最小值，只要求 f?x??令f??x??2lnx 的最大值。 （2分） x2?1?lnx??0 得x?e, （2分）
x2由于0?x?e时f??x??0,e?x时f??x??0,
所以f?e??2为其最大值， （2分） e2 故a的最小值为 . （1分）
e三、（10分）设f?x?在?0，1? 上连续，且求证：存在 ???0，1?,使得 证法1：令F?x??则F?0?=0,x?f?x?dx??0110 xf?x?dx，?f?x?dx?0.
011??0?x?t?f?t?dt, （3分）
1000F?1????1?t?f?t?dt??f?t?dt??tf?t?dt?0,
应用罗尔定理，????0，1?,使得F?????0, （4分）
而F??x???f?t?dt?xf?x??xf?x???f?t?dt,
00xx 于是 F??????f?t?dt??f?x?dx?0. （3分）
00?? 证法2 令F?x???x0f?x?dx,则F?0??0,F??x??f?x?, （3分）
1111?F?1???f?x?dx??xF??x?dx?xF?x???F?x?dx0000?F?1???F?x?dx,?01?F?x?dx?0, （3分）
01应用积分中值定理，存在 ???0,1?, 使得于是 F??????F?x?dx?F????1?0??F???,
01?f?x?dx?0. （4分）
0??四、（12分）求广义积分
1?21?x4dx.
1??11??1解原式??dx?dx （4分） 22?2221?x21?x ???11?x??1 （4分） arctanx?ln241?x22 ??11?arctan2?ln3. （4分） 424五、（12分）过原点?0,0?作曲线y??lnx的切线。求该切线、曲线y??lnx与x轴所围的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积。
解设切点为?x0,?lnx0?,Qy???y?lnx0??1,?切线方程为x01?x?x0?,用?x,y???0,0?代入可解得x0?e,x0
x于是切线的方程为y??. （3分）
ee12V???1?e???ln2xdx （3分）
13e?2e?1 ??e???xlnx?2?lnxdx? （3分）
113??
e?e?11?e???e???e?2?xlnx??2?ldx???e???e?2??2??1??.（3分）
113?3???3六、（12分）已知ABCD是等腰梯形，BC∥AD,AB?BC?CD?8，求AB,BC
AD的长，使该梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。
解令BC?x ,AD?y?0?x?y?8?,则AB?8?xy?x,设BE?AD,则AE? , 2222?8?x??y?x?BE?AB2?AE2??????2???2?
2?2?V??BE2?AE??BE2x??BE2?AE?x?
3?3???8?x?2?y?x?2??2x?y???????????????8?2x?y??8?y??2x?y?.（4分）
???2??2????3?12?V2???8?y??2?x??0,?x?2.?x3
?V????8?y??2x?y???8?2x?y??2x?y???8?2x?y??8?y????0,?y12?令x?2?y?4,设P?2,4?, （4分） ?2V2?8??2V2?A?2??8?y??,B?????x?2??0,
PP?xP33?x?yP3
?2V?16C?2??y??2?,??B2?AC???2?0,A?0,
?yP2P3?x?2,y?4时,V取最大值。
即AB?3,BC?2,AD?4 为所求的值。 （4分） 注：对V的表达式应用平均不等式求最大值也对。 七、（12分）求二重积分
22???cosD2x?sin2y?dxdy,
其中 D:x?y?1,x?0,y?0.
解原式??dx?011?x202cosxdy ??dy?0210211?y20sin2ydx （4分）
（2分）
??101?x cosx dx??1?y2 sin2y dy??20220?令x?y?sint????20cost?cos?sint?dt??2cos2t?sin2?sint?dt
???2costdt
（4分）??201?cos2t?dt?. （2分） 242008年江苏省普通高等学校非理科专业
第九届高等数学（本科三级）竞赛题
一、填空题（每小题5分，共40分）
1、若
ax?2x?，则a?________________；b?________________. arctanx??lim2x??bx?xn2、
1?________________. ?limn??k?1k?k?3?'3、f?x??x?x?1??x?2???x?100?，则f?100??________________.
24、常数a?______,b? ______时，f?x??ax?x?x在x?0时，关于x的无穷小1?bx的阶数最高.
?5、6、
?20sin2x?cos3xdx?________________.
??1?x?1?x222dx?________________.
x?nz7、设z?，则n?2,1??________________.
x?y?y8、 设D：由y?x,x?0，y?1所围，则
??arctanydxdy?________________.
D
二、（8分）设数列?xn?为：x1?1,xn?1?6?xn ；求证：数列?xn?收敛，并求极限。
江苏高等数学历年本科三级竞赛真题史上最完整
