§3. 热传导方程
上一节曾指出，由于定解问题中的每一个偏导数都有多种差分近似，所以一个定解问题可以有多个不同的差分格式。下面以热传导方程为例，对此展开讨论。为简单起见，先不给出定解条件。
考虑热传导方程
2抖uu=? 2?t?x?2u?u方程中出现了一阶时间导数 和二间空间导数 2 。
?t?x对于一阶时间导数
?u ，常用的差分近似就有三种，记 ?tn+1nun-ujj向前差分近似
?u禗tüjtn-1un-ujj
向后差分近似
?u禗tnüjt
中心差分近似
?u禗tnüj+1n-1un-ujj2t
这里，我们用“ü”代表上一节推导差分近似的过程。
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前面已经看到，二阶导数通常用中心差分近似。对这里的二阶空间导数的中心差分近似为
nnnun-2u+uj+1jj-1?u禗x22üjx2
但是也可以考虑其他可能的方案。由泰勒展开，有
n+1nnn抖u抖x22=ju抖uu+Dt+L=+?(Dt) 222xj抖txj?xju抖uu-Dt+L=+?(Dt) 222xj抖txj?xjn+12n3n2n232抖u抖x22n-1=j所以，如果用
?u?x22 或
j?u?x22n-1 代替
j?u ，虽然会引入新的误差，2?xj2n但这种误差与差分近似已有的误差为同一量级的，因而还是可以接受的。这样一来，二阶空间导数的差分近似又有了两种新的方案
nn+1+1n+1n+1un-2u+uj+1jj-1抖u抖x22苘jux22jDx2
抖u抖x2
2n苘jux22n-1-1n-1n-1un-2u+uj+1jj-1jDx2
2
将前面讨论过的一阶时间导数的三种差分近似与这里给出的二阶空间导数的三种差分近似方案搭配起来，可以为热传导方程构造出九种不同的差分格式，如下表所示。
格二方式 阶案空一 模板 间导格数的方式 三案种二 模差板 分近格似方式 方案案 三 模板
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一阶时间导数的三种差分近似 向前差分近似 +1nun-ujj向后差分近似 n-1un-ujj中心差分近似 +1n-1un-ujjDt=?nnun-2u+uj+1jj-1Dx2Dt=?nnun-2u+uj+1jj-1Dx22Dt=?nnun-2u+uj+1jj-1Dx2 +1nun-ujj?2 n-1un-ujj =??2 +1n-1un-ujj =??2 Dt=?+1n+1n+1un-2u+uj+1jj-1+1n+1n+1un-2u+uj+1jj-1+1n+1n+1un-2u+uj+1jj-1DxDtDx2DtDx +1nun-ujj?2 n-1un-ujj =??2 +1n-1un-ujj =??Dx2 Dt=?-1n-1n-1un-2u+uj+1jj-1-1n-1n-1un-2u+uj+1jj-1-1n-1n-1un-2u+uj+1jj-1DxDtDx2Dt ? ? ?
3差分格式
