高考数学高频易错题举例解析
高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略.也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误.本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助.加强思维的严密性训练. ● 忽视等价性变形，导致错误.
? x>0? x + y>0? x>1? x + y>3???? ? ，但 与 不等价 . ? y>0? xy>0? y>2? xy>2
x
【例1】已知f(x) = ax + ，若?3?f(1)?0,3?f(2)?6,求f(3)的范围.
b
??3?a?b?0①?错误解法 由条件得? b3?2a??6?②2?②×2－① 6?a?15 ③
①×2－②得 ?8b2??? ④ 333③+④得
10b431043?3a??,即?f(3)?. 33333错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x)?ax?x，其值是同时b受a和b制约的.当a取最大（小）值时，b不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的.
?f(1)?a?b?正确解法 由题意有?b, 解得：
f(2)?2a??2?12a?[2f(2)?f(1)],b?[2f(1)?f(2)],
33?f(3)?3a?b1651637?f(2)?f(1). 把f(1)和f(2)的范围代入得 ?f(3)?. 399331 / 29
在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性.只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题.
●忽视隐含条件，导致结果错误. 【例2】
2(1) 设?、?是方程x?2kx?k?6?0的两个实根，则(??1)?(??1)的最小值是
22(A)?494(B)8(C)18(D)不存在
思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当. 利用一元二次方程根与系数的关系易得：????2k,???k?6,
?(??1)2?(??1)2??2?2??1??2?2??1?(???)2?2???2(???)?2 349?4(k?)2?.44有的学生一看到?49，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和.这正是思维缺乏反思性的体现.如果能4以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案.
? 原方程有两个实根?、?，∴??4k2?4(k?6)?0 ? k??2或k?3.
当k?3时，(??1)?(??1)的最小值是8； 当k??2时，(??1)?(??1)的最小值是18. 这时就可以作出正确选择，只有（B）正确. y2
(2) 已知(x+2)2+ 4 =1, 求x2+y2的取值范围.
2222错解 由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此 x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+
8228)+ ， 3382828
∴当x=－3 时，x2+y2有最大值3 ，即x2+y2的取值范围是(－∞, 3 ]. 2 / 29
分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值. y2y2
事实上，由于(x+2)2+ =1 ? (x+2)2=1－ ≤1 ? －3≤x≤－1，
4428
从而当x=－1时x2+y2有最小值1.∴ x2+y2的取值范围是[1, 3 ].
注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等.
●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误.
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【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值.
ab
错解 (a+
1211121)+(b+)2=a2+b2+2+2+4≥2ab++4≥4ab?+4=8, abababab121)+(b+)2的最小值是8. ab1,第二次等号2∴(a+
分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=
成立的条件是ab=
1，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8不是最小值. ab事实上，原式= a2+b2+
111111222+b2)+(2－2ab]+[(++4=( a+)+4=[(a+b)+)－]+4 2222abababab = (1－2ab)(1+
1)+4， 22ab由ab≤(
a?b211111)= 得：1－2ab≥1－=, 且22≥16，1+22≥17，
4222abab∴原式≥
1251×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)， 222∴(a +
12125) + (b + )2的最小值是2 . ab
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