同济大学高等数学教案第八章无穷级数
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高等数学教学教案
第一章函数、连续与极限
授课序号01
教 学 基 本 指 标 教学课题 第八章 第一节 常数项级数的概念与性质 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学重点 几何级数和p级数 参考教材 同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》 大纲要求 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念， 了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件， 掌握几何级数和p级数的收敛性 课的类型 复习、新知识课 黑板多媒体结合 教学手段 教学难点 无穷级数概念和性质 作业布置 课后习题 教 学 基 本 内 容 一、基本概念： 定义1 设有数列?un?，?n?1,2,L?，将数列?n?1,2,Lu1?u2?L?un?L??un?中的各项用加号连接的形式 称为常数项无穷级数，简称级数，记为?un，其中?是求和记号，称为下标变量，第n项称为n?1?级数的一般项（通项）. 定义2 对数列u1,u2,u3,Lun,L，取它的前n项的和 Sn?u1?u2?u3?L?un??ui， i?1nSn称为级数的部分和（前n项之和）. 定义3 若级数的部分和数列?Sn?有极限S， 即limSn?S，则称无穷级数?un收敛，这n??n?1?时，极限S就叫做无穷级数?un的和，并写成?un?S；若数列?Sn?没有极限，则称无穷级数n?1n?1???un?1?n发散. 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
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二、定理与性质： 收敛级数的基本性质 性质1 若级数?un收敛，其和为s，则对任何常数k，级数?kun收敛，且其和为ks，即 n?1n?1???kun?1?n?k?un. n?1? 性质2 若级数?un，?vn分别收敛于s和t，即 n?1n?1???un?1?n?1?n?s,?vn?1?n?t, 则级数?un?vn也收敛，其和为s?t，即有 ????un?1?n?vn???u??v. n?1nn?1n???推论 若k?0，则级数?an与?kan具有相同的收敛性；若级数?an，?bn一个收敛一个n?1???n?1n?1n?1发散，则级数??an?bn?一定发散. n?1?性质3(级数收敛的必要条件) 如果级数?un收敛，则limun?0. n?1?n??推论 如果当n??时，级数的一般项un不趋于零，那么级数发散. 性质4 改变级数中有限项的值不会改变级数的收敛性. 推论 级数中去掉或加进有限多项不改变级数的收敛性. 三、主要例题： 例1 讨论级数(等比级数) 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
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n?0?aq?n?a?aq?aq2?L?aqn?L?a?0? 的收敛性. 例2 证明级数 111++L++L 1?22?3nn?1??是收敛的. ?1?例3 判定级数?ln?1??的敛散性. n??n?1?1例 4 判定级数?的敛散性. n?1n?n?1??n?2??例5证明级数 1?2?3???n?? 是发散的. 例6 证明调和级数 1111?1???L??L ?n23nn?1? 是发散的. ?13?例7 求级数????2nn(n?1)??的和. n?1???21?例8 讨论级数???n?的收敛性. 2?n?1?n??
授课序号02
教 学 基 本 指 标 教学课题 第八章 第二节 常数项级数的审敛准则 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
课的类型 新知识课 精品文档
教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学重点 比较法和比值法，莱布尼兹公式 参考教材 同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》 大纲要求 了解正项级数的比较审敛法， 掌握正项级数的比值审敛法， 了解交错级数的莱布尼兹定理， 会估计交错级数的截断误差， 黑板多媒体结合 教学手段 教学难点 绝对收敛和条件收敛 作业布置 课后习题 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系 教 学 基 本 内 容 一、基本概念： n?1常数设，un?0?n?1,2,??，级数???1?un或???1?un称为交错级数. ?n?n?1n?1项级数的每一项都是常数，当各项都是大于或等于零的常数时，称为正项级数. 设有级数?un?u1?u2?L?un?L，其中un(n?1,2,L)为任意实数，那么该级数叫做任意n?1?项级数． 若级数?un收敛，级数?|un|也收敛，则称级数?un绝对收敛；若级数?un收敛，级数n?1n?1n?1n?1?????|un?1?n|发散，则称级数?un条件收敛； n?1??二、定理与性质： 定理1（基本定理） 正项级数?un收敛的充分必要条件是它的部分和数列{sn}有界. n?1定理2（比较审敛定理）：设?un,?vn是两个正项级数，且un?vn(n?1,2,L)，则有 n?1n?1??若级数?vn收敛，则级数?un也收敛； 若级数?un发散，则级数?vn也发散. n?1n?1n?1n?1????推论（比较审敛定理的极限形式）：设?un,?vn是两个正项级数，limn?1n?1??un?l， n??vn若0?l???，则?un与?vn同敛散； 若l?0，则当?vn收敛，有?un也收敛； n?1n?1??若l???，则当?vn发散，有?un也发散. n?1n?1??收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
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