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第一章 函数与极限
§1-1 函数与极限
一、 函数
1.函数的定义
设x，y是两个变量，D是给定的一个集合，若对于D中的每一个x值，由某一法则f，变量y都有唯一确定的值与之对应，则称变量y是变量x的函数，记为yf(x),xD，
其中x称为自变量，y称为因变量，x的取值围D称为定义域，y的取值围称为值域。 2.定义域
数轴上使函数有意义的一切点的集合。实际问题中要求根据实际意义具体确定。 3.定义域的求法原则 （1）分母不为零 （2）x，x?0 （3）lnx,x?0
arccosx,?1?x?1
（4）arcsinx,（5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集 例1：求y1x0
21的定义域
解：x21定义域为(例2：求y,1)(1,)
4x2lnx1的定义域
解：4?x2?0且x1 ?2?x?2且x 定义域为(1,2)
0
1
4.函数的表示法 （1）表格法
将自变量的值与对应因变量的值列成表的方法。 （2）图像法
在坐标系中用图像来表示函数关系的方法。 （3）解析式法
将自变量和因变量之间的关系用数学公式表示的方法。 解析式分为三类：
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（a）显函数
函数y由x的解析式直接表示出来，如y （b）隐函数
函数自变量x和因变量y由F(x,y)（c）分段函数
函数在其定义域不同围有不同表达式
f(x)
0确定，如xysiny0
1如符号函数yxx00或f(x)0sgnx0xxx001x二、反函数
1.定义
xx
设函数的定义域为Df，值域为Vf。对于任意的y?Vf，在Df上至少可以确定一个x与
y对应，且满足y?f?x?。如果把y看作自变量，x看作因变量，就可以得到一个新的函
数：x?f?1?y?。我们称这个新的函数x??1f?1?y?为函数y?f?x?的反函数，而把函数
f1y?f?x?称为直接函数。由于习惯x?f例：求y?y?通常写成yx。
122xx11
的反函数
解：
1y1yx12x 1y11)，其中0xlog2(1)即ylog2(x1
2.性质
（1）互为反函数的图像关于y （2）
x对称
f1f(x)1x
x
x,elnxx,lnexx
（3）ff （4）alogax(x)x,logaax三、初等函数
1.基本初等函数
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常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这6种函数称为基本初等函数。
（1）常量函数为常数 y定义域为
?c（c为常数）
???，???，函数的图形是一条水平的直线，如图1-1所示。
图1-1
（2）幂函数yxααR
定义域和值域依α的取值不同而不同，但是无论a取何值，幂函数在x?常见的幂函数的图形如图1-2所示。
?0,???总有定义。
图1-2
（3）指数函数 y?a定义域为
x?a?0，a?1?
???，???，值域为?0，???。指数函数的图形如图1-3所示。
图1-3
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（4）对数函数 y?logax?a?0，a?1?
x???，值域为???，???。对数函数y?logax是指数函数y?a的反函定义域为?0，数。其图形见图1-4。特殊底数的对数函数ylnxlogex，ylgxlog10x。
图1-4
对数函数性质：
logaMNlogaMlogaN
logaMNlogaMlogaN
logaMNNlogaM
（5）三角函数
三角函数有正弦函数y?sinx、余弦函数
y?cosx、正切函数y?tanx、余切函数
y?cotx、正割函数y?secx和余割函数y?cscx。其中正弦、余弦、正切和余切函数的
图形见图1-5。
图1-5
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三角函数常用公式：
sin2x2sinxcosxsin2xcos2x1cos2xcos2xsin2x221tanxsecx 22cosx11cot2xcsc2x12sin2xsin(αcos(αβ)β)sinαcosβcosαsinβcosαcosβsinαsinβ β)tanαtanβ1tanαtanβtan(α三角函数标准形式：
yAsin(ωxφ)B，其中A为振幅、ω为频率、φ为横向平移、B为纵向平移。
（6）反三角函数
反三角函数主要包括反正弦函数y?arcsinx、反余弦函数
y?arccosx、反正切函数
y?arctanx和反余切函数y?arccotx等．它们的图形如图1-6所示。
图1-6
2.复合函数
定义：若y?f?u?u???x?，当??x?的值域落在f?u?的定义域时称y?f???x??是由中间变量u复合成的复合函数。
例1：yuu1cosx可复合成y1cosx
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高职高等数学-Ch1函数与极限
