名师考前提醒
01
选择题做完就填答题卡
这是针对考试总会忘记填答题卡的考生，为避免非智力因素失分，一般每门一做完选择题就填答题卡。这时填答题卡心态较平静，不会因为担心时间不够而出现涂写错位的情况。考试成绩的好坏往往与考试的心情有关，所以我们一定要调节好自己的考试心情。特别是刚开始的状态，利用一些小的技巧如做完试题就填涂答题卡等，这样可以避免在最后时间较紧的情况下因匆忙而涂错、涂串或是没有涂完而造成遗憾。 02
考前看相关资料转换思维考英语前最好看看复习资料，并不是要记住什么知识点，而是让大脑提前进入状态。而数学试卷对一些学生来说比较发怵，建议在心中回忆梳理一下相关知识点，可驱使自己进入状态，效果不错。考试紧张，这是很正常的事情，考试不紧张，就不正常了。但是不能过度紧张，那样会给自己很大的压力不利于水平的发挥。可以和同学聊一聊天，说说话放松一下。 03
遇事都往好处想
看大题时，先不想该怎么做，只是看它如何表述，甚至跟自己说“这题我会做，第一问认真看就能做对”，让自己有一个平和的心态答题。即使是弱科，我们也要知足常乐，我只要把会做的都做上，在一场考试中把会的都做对其实就是很好的发挥了。
时刻给自己打一打气，阿Q一下，这样把对自己的期待放低一些，心态就平稳了，也就高兴了，这可以使得思路更顺畅，而超水平发挥也就很正常了。 04
别看他人答题的速度
考场上不要左顾右盼，观察别人做题的进度，万一人家比自己快，会给自己压力。在考场上和比较熟悉的老师、同学可以主动打个招呼。即使是不认识的老师，也可问候一声“老师好”，一般老师都会像老朋友似地回以微笑，这可以缓解紧张的情绪。这一些方法和措施都是很有助于调节考试心态与考试情绪的。有心理学家研究证明，人在平稳的平稳或是心情高兴的时候，智商最高，情商也不错，更容易发挥出自己的高水平来。 05
答题遇困难要镇静，巧用考前5分钟
这个问题是涉及到考试策略与方法的，对于每一学科的考试，我们都应该有自己的考试策略和答题风格。即考试时间的规划，答题的原则，遇到问题时的心理准备与应对方法、如何调节自己的在答题方案等等。计划不如变化快，我们的计划要随着试题的难易程度随时调整，目的是在有限的时间里有质有量的完成每一道试题。要随机而动，在发卷后的5分钟里，要先浏览一下第二卷的试卷结构和试题的分布、难易程度等等，初步制定出本试卷的答题计划和答题顺序。先易后难，先熟后生，这就要充分利用这5分钟，做很好的规划。只有这样才不至于把难度较大的先做而浪费了时间和精力。
2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
1
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式：
·如果事件A、B互斥，那么P(AB)?P(A)?P(B).
·如果事件A、B相互独立，那么P(AB)?P(A)P(B).
·圆柱的体积公式V?Sh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式V?1Sh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高. 3一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A?{?1,1,2,3,5},B?{2,3,4},C?{x?R|1?x?3}，则(AC)B?
A.?2? B.?2,3? C.??1,2,3? D.?1,2,3,4?
?x?y?2?0,?x?y?2?0,?2.设变量x,y满足约束条件?则目标函数z??4x?y的最大值为
x…?1,???y…?1,A.2 B.3 C.5 D.6 3.设x?R，则“x?5x?0”是“|x?1|?1”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2
24.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为 A.5 B.8 C.24 D.29
x2y25.已知抛物线y?4x的焦点为F，准线为l，若l与双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两条渐近线分别
ab2交于点A和点B，且|AB|?4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.5 6.已知a?log52，b?log0.50.2，c?0.50.2，则a,b,c的大小关系为
A.a?c?b B.a?b?c C.b?c?a D.c?a?b
7.已知函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|??)是奇函数，将y?f?x?的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为g?x?.若g?x?的最小正周期为2π，且
???g???2，则?4??3?f??8??? ?A.?2 B.?2 C.2 D.2
?x2?2ax?2a,x?1,0在R上恒成立，则a的取8.已知a?R，设函数f(x)??若关于x的不等式f(x)…x?1,?x?alnx,3
值范围为
A.?0,1? B.?0,2? C.?0,e? D.?1,e?
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共12小题，共110分。
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.i是虚数单位，则
85?i的值为 . 1?i1??10.?2x?3?是展开式中的常数项为 .
8x??11.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 . 12.设a?R，直线ax?y?2?0和圆??x?2?2cos?,（?为参数）相切，则a的值为 .
?y?1?2sin?(x?1)(2y?1)的最小值为 .
xyAB?23,AD?5,?A?30?，点E在线段CB的延长线上，
13.设x?0,y?0,x?2y?5，则14.在四边形ABCD中，AD∥BC,且AE?BE，则BD?AE? .
三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）
在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b?c?2a，3csinB?4asinC. （Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）求sin?2B??????的值. 6?16.（本小题满分13分）
设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为响，且任一同学每天到校情况相互独立.
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2.假定甲、乙两位同学到校情况互不影3（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望； （Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率. 17.（本小题满分13分）
如图，AE?平面ABCD，CF∥AE,（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角E?BD?F的余弦值为
AD∥BC，AD?AB,AB?AD?1,AE?BC?2.
1，求线段CF的长. 3
18.（本小题满分13分）
x2y25设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
5ab（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若|ON|?|OF|（O为原点），且OP?MN，求直线PB的斜率. 19.（本小题满分14分）
b2?2a2?2,b3?2a3?4. 设?an?是等差数列，?bn?是等比数列.已知a1?4,b1?6，（Ⅰ）求?an?和?bn?的通项公式；
?1,2k?n?2k?1,*（Ⅱ）设数列?cn?满足c1?1,cn??其中k?N. k?bk,n?2,（i）求数列a2nc2n?1的通项公式；
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2024年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(天津卷)(含答案)
