北师大版初三数学 圆的总复习
一. 教学内容： 1. 圆锥的侧面积 2. 圆的总复习
二. 教学目标：
1. 能利用圆锥的侧面积公式计算实际问题 2. 灵活运用本章的知识解决综合问题
三. 教学重点、难点：
1. 能利用圆锥的侧面积公式计算实际问题 2. 灵活运用本章的知识解决综合问题
四. 课堂教学：
知识要点：
1. 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为πrl。 2. 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积 3. 本章的知识机构图
丰富的情境（数学的和现实的） 圆 直线和圆 的位置关系 圆和圆的 位置关系 概念对称性圆周角与圆心角的关系 弧长、扇形面积、圆锥的侧面积 垂径定理 切线的性质切线的判定切线的作图 圆心角、弧、弦之间关系定理
【典型例题】
例1. 已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，则它的侧面积为 cm2（结果保留π）。
答案：8π
例2. 一个扇形的弧长为4π，用它做一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 。
答案：2
例3. 如图，矩形ABCD的长与宽分别是2cm和1cm，AB在直线l上。依次以B、C′、D″为中心将矩形ABCD按顺时针方向旋转90°，这样点A走过的曲线依次为 AA′ 、
交CD于点P。 A′A″ 、A″A″ ，其中AA′
（1）求矩形A′BC′D′的对角线A′C′的长； （2）求 AA′ 的长； （3）求图中的 （4）求图中的 解：（1）A′′C?部分的面积S；
部分的面积T。
22?1?5cm
×2?πcm AA′ 180（2）＝。
90π90π(5)25S??πcm23604（3）。
（4）连接BP，
在Rt△BCP中，BC＝1，BP＝2，
∴∠BPC?30°，CP?3.∴∠ABP?30°.2∴T?S扇形ABP?S△PBC?30π×2?3?（π?3）cm2.360232
例4. 如下图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是AB边上的一点，AE＝22。过D、E两点作直线PQ，与BC边所在的直线MN相交于点F。
A E M Q F B G H O C N D P
（1）求tan∠ADE的值；
（2）点G是线段AD上的一个动点（不运动至点A、D），GH⊥DE，垂足为H，设DG为x，四边形AEHG的面积为y，请求出y与x之间的函数关系式；
（3）如果AE＝2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O与直线PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切。问满足条件的⊙O有几个？并求出其中一个圆的半径。
解：（1）∵矩形ABCD中，∠A＝90°，AD＝8，AE＝22
∴tan∠ADE=AE?22?2AD84
（2）∵DE?AD2?AE2?82?(22)2?62，
∴sin∠ADE?AE?22?1，cos∠ADE?AD?8?22ED623ED623
在Rt△DGH中，∵GD＝x，
?GH?DG?sin?ADE?1x3
∴DH=DG·cos∠ADE=22x3，
22x1?2x2∴S△DGH?1DH·GH?1·x··22339
∴S△AED?1AD·AE?1×8×22?8222
22∴y?S△AED－S△DGH?82－x9
y??22x?829。
即y与x之间的函数关系式是
（3）满足条件的⊙O有4个。
以⊙O在AB的左侧与AB相切为例，求⊙O半径如下： ∵AD∥MN，
∴△AED∽△BEF。 ∴∠PFN＝∠EDA。
1∴sin∠PEN＝sin∠EDA＝3。
∵AE＝2BE,
∴△AED与△BEF的相似比为2∶1。
AD?2，FB?41∴FB。
过点O作OI⊥PQ，垂足为I，设⊙O的半径为r，那么FO＝4－r。
∵sin∠PFN=OI?r?1FO4?r3，
∴r＝1。
（满足条件的⊙O还有：⊙O在AB的右侧与AB相切，这时r＝2；⊙O在CD的左侧与CD相切，这时r＝3；⊙O在CD的右侧与CD相切，这时r＝6）
例5. 已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系。有一个正方形ABCD，顶点B的坐标为（?13，0），顶点A在x轴上方，顶点D在⊙O上运动。
（1）当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由。
（2）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求出S与x的函数关系式，并求出S的最大值和最小值。
解：（1）CD与⊙O相切。
因为A、D、O在一直线上，∠ADC＝90°， 所以∠CDO＝90°，所以CD是⊙O的切线。 CD与⊙O相切时，有两种情况： ①切点在第二象限时（如图①），
设正方形ABCD的边长为a，则a2＋（a＋1）2＝13. 解得a＝2，或a＝－3（舍去）。 过点D作DE⊥OB于E， 则Rt△ODE∽Rt△OBA，
OD所以OB?DEBA?OEOA，所以DE?21313。 ?31313，21313），
OE?31313，所以点D1的坐标是（
y??2x3。 所以OD所在直线对应的函数表达式为
图①
②切点在第四象限时（如图②），
设正方形ABCD的边长为b，则b2＋（b－1）2＝13， 解得b＝－2（舍去），或b＝3。
过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA，
图②
所以ODOFDF2333??，所以OF?，DF?OBOABA1313
所以点D2的坐标是
（213313，?）1313
所以OD所在直线对应的函数表达式为
y??3x2
图 ③
（2）如图③，过点D作DG?OB于G，连接BD、OD，则
BD2?BG2?DG2?(BO?OG)2?OD2?OG2?(?13?x)2?1?x2?14?213x
所以
S?AB2?1BD2?7?13x2。
因为－1≤x≤1，所以S的最大值为7?13，S的最小值为7?13。
例6. 如图，形如量角器的半圆O的直径DE＝12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB
＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm。半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上。设运动时间为t（s），当t＝0s时，半圆O在△ABC的左侧，
北师大版初三数学圆的总复习
