2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文（全国卷2）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。 1．i?2?3i?? A．3?2i
B．3?2i
C．?3?2i
D．?3?2i
2．已知集合A??1,3,5,7?，B??2,3,4,5?，则AIB? A．?3?
B．?5?
C．?3,5?
D．?1,2,3,4,5,7?
ex?e?x3．函数f?x??的图像大致为 2x
4．已知向量a，b满足|a|?1，a?b??1，则a?(2a?b)? A．4
B．3
C．2
D．0
5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A．0.6
B．0.5
C．0.4
D．0.3
x2y26．双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，则其渐近线方程为
abA．y??2x 7．在△ABC中，cosA．42 B．y??3x
C．y??2x 2D．y??3x 2C5，BC?1，AC?5，则AB? ?25B．30 C．29 D．25 111118．为计算S?1????L??，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入
23499100开始N?0,T?0i?1是1ii?100否N?N?T?T?S?N?T输出S结束1i?1 A．i?i?1 C．i?i?3
B．i?i?2 D．i?i?4
9．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为 A．2 2 B．3 2 C．5 2 D．7 210．若f(x)?cosx?sinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是
A．
π 4B．
π 2C．
3π 4 D．π
11．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1?PF2，且?PF2F1?60?，则C的离心率
为 A．1?3 2B．2?3 C．3?1 2 D．3?1
12．已知f(x)是定义域为(??,??)的奇函数，满足f(1?x)?f(1?x)．若f(1)?2，则
f(1)?f(2)?f(3)?L?f(50)?
A．?50 B．0 C．2 D．50
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线y?2lnx在点(1,0)处的切线方程为__________．
?x?2y?5≥0,?14．若x,y满足约束条件?x?2y?3≥0, 则z?x?y的最大值为__________．
?x?5≤0,?15．已知tan(α?5π1)?，则tanα?__________． 4516．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30?，若△SAB的面积为8，则
该圆锥的体积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1??7，S3??15． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值．
18．（12分）
下图是某地区2000年至2020年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2020年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000???30.4?13.5t；根据2020年年至2020年的数据（时间变量t的值依次为1,2,L,17）建立模型①：y??99?17.5t． 至2020年的数据（时间变量t的值依次为1,2,L,7）建立模型②：y
（1）分别利用这两个模型，求该地区2020年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12分）
如图，在三棱锥P?ABC中，AB?BC?22，PA?PB?PC?AC?4，O为AC的中点．
（1）证明：PO?平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且MC?2MB，求点C到平面POM的距离．
20．（12分）
设抛物线C：y2?4x的焦点为F，过F且斜率为k(k?0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|?8． （1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
21．（12分）
1已知函数f?x??x3?ax2?x?1．
3??
（1）若a?3，求f(x)的单调区间； （2）证明：f(x)只有一个零点．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
?x?2cosθ,?x?1?tcosα,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（θ为参数），直线l的参数方程为??y?4sinθ?y?2?tsinα（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数f(x)?5?|x?a|?|x?2|．
（1）当a?1时，求不等式f(x)≥0的解集； （2）若f(x)≤1，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题 1．D 7．A
2．C 8．B
3．B 9．C
4．B
5．D
6．A 12．C
10．C 11．D
二、填空题 13．y=2x–2 三、解答题 17．解：
（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15． 由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n–8n=（n–4）–16． 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16． 18．解：
（1）利用模型①，该地区2020年的环境基础设施投资额的预测值为 $y=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
2
2
14．9 15．
3 2 16．8π
利用模型②，该地区2020年的环境基础设施投资额的预测值为 $y=99+17.5×9=256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000年至2020年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2020年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2020年相对2020年的环境基础设施投资额有明显增加，2020年至2020年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2020年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2020年y=99+17.5t可以较好地描述2020年以后的环境基础设施投资额的变至2020年的数据建立的线性模型$化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ii）从计算结果看，相对于2020年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文（全国卷2,含答案）(1)
