第一部分 专题三 第二讲 三角恒等变换与解三角形
A组
π
1．若2sin(θ＋)＝3sin(π－θ)，则tanθ等于( B )
3A．－3
3
B．3
2
23C．
3
D．23
3，2
[解析] 由已知得sinθ＋3cosθ＝3sinθ，即2sinθ＝3cosθ，所以tanθ＝故选B．
4π2
2．(文)如果sinα＝，那么sin(α＋)－cosα等于( A )
54222
A．
542C．
5
π2
[解析] sin(α＋)－cosα
42
ππ24222
＝sinαcos＋cosαsin－cosα＝×＝.
442525(理)已知α∈R，sinα＋2cosα＝4
A． 33C．－ 4
10
，则tan2α＝( C ) 2
3B． 44D．－ 322B．－
542D．－
5
[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系． 将sinα＋2cosα＝
10
两边平方可得， 2
522
sinα＋4sinαcosα＋4cosα＝，
2
34sinαcosα＋3cosα3
∴4sinαcosα＋3cosα＝，∴＝. 22
2sinα＋cosα2
2
2
将左边分子分母同除以cosα得，
1
2
3＋4tanα31
＝，解得tanα＝3或tanα＝－， 2
1＋tanα23∴tan2α＝
2tanα3
＝－. 2
1－tanα4
2
3．若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sinC，则此三角形的形状是( B ) A．等腰三角形 C．等边三角形
2
B．直角三角形 D．等腰直角三角形
[解析] ∵sin(A＋B)sin(A－B)＝sinC，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋
B)，∴cosAsinB＝0，
∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A为直角．
1
4．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝2，则AC＝( B )
2A．5 C．2
B．5 D．1
[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式． 111
∵S△ABC＝acsinB＝·2·1·sinB＝，
222∴sinB＝
2π3π，∴B＝或. 244
π
当B＝时，
4
经计算△ABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去． 3π
∴B＝，根据余弦定理，
4
b2＝a2＋c2－2accosB，解得b＝5，故选B．
5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cosA＝则b＝( B )
A．3 C．22
2
2
2
3
，且b B．2 D．3 [解析] 由余弦定理得：a＝b＋c－2bccosA， 所以2＝b＋(23)－2×b×23× 2 2 2 2 3， 2 即b－6b＋8＝0，解得：b＝2或b＝4. 因为b 2 45 6．已知tanβ＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sinα的值为( A ) 31363 A． 6513C． 65 33B． 656333D．或 6565 435 [解析] 依题意得sinβ＝，cosβ＝，注意到sin(α＋β)＝ 5513πππ β>(否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，0 22212＋β) 1363 －cos(α＋β)sin＝. 65 7．(2018·淮北二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3b＋3c－π23bcsinA，则C等于. 6 [解析] 由余弦定理得a＝b＋c－2bccosA， 所以b＋c－2bccosA＝3b＋3c－23bcsinA， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b2＋c2πb2＋c2ππ2π 3sinA－cosA＝，2sin(A－)＝≥2，因此b＝c，A－＝?A＝，所以bc6bc623 2π π－3π C＝＝. 26 8．(2018·长沙三模)在锐角△ABC中，D为BC的中点，满足∠BAD＋∠C＝90°，则角B， C的大小关系为B＝C.(填“B [解析] 设∠BAD＝α，∠CAD＝β， 因为∠BAD＋∠C＝90°，所以α＝90°－C，β＝90°－B， 因为D为BC的中点， 所以S△ABD＝S△ACD， 11 所以c·ADsinα＝b·ADsinβ， 22 所以csinα＝bsinβ，所以ccosC＝bcosB， 由正弦定理得，sinCcosC＝sinBcosB， 即sin2C＝sin2B，所以2B＝2C或2B＋2C＝π， 因为△ABC为锐角三角形，所以B＝C． 9．为了竖起一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°， BC的长度大于 3
【复习必备】(文理通用)2020届高考数学大二轮复习 第1部分 专题3 三角函数及解三角形 第2讲 三角恒等变换
