（Ⅰ）由于3?4与均不属于数集?1,3,4?，∴该数集不具有性质P. 由于1?2,1?3,1?6,2?3,,,,,,都属于数集?1,2,3,6?， ∴该数集具有性质P.
（Ⅱ）∵A??a1,a2,Lan?具有性质P，∴anan与
an中至少有一个属于A， an43661236231236由于1?a1?a2?L?an，∴anan?an，故anan?A. 从而1?an?A，∴a1?1. an∵1?a1?a2?L?an， ∴akan?an，故akan?A?k?2,3,L,n?.
由A具有性质P可知
an?A?k?1,2,3,L,n?. ak又∵
anaaa?n?L?n?n， anan?1a2a1∴
anaaa?1,n?a2,Ln?an?1,n?an， anan?1a2a1anaaa?n?L?n?n?a1?a2?L?an?1?an， anan?1a2a1从而
∴
a1?a2?L?an?an. ?1?1?1a1?a2?L?ana5a2?a2,5?a3，即a5?a2a4?a3， a4a3（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n?5时，有
∵1?a1?a2?L?a5，∴a3a4?a2a4?a5，∴a3a4?A，
由A具有性质P可知
a4?A. a3由a2a4?a32，得∴
a3a4aaa??A，且1?3?a2，∴4?3?a2， a2a3a2a3a2a5a4a3a2????a2，即a1,a2,a3,a4,a5是首项为1，公比为a2成等比数列. a4a3a2a1★ 2008年北京19．（共14分）
解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y?x?1． 因为四边形ABCD为菱形，所以AC?BD． 于是可设直线AC的方程为y??x?n．
?x2?3y2?4，由?得4x2?6nx?3n2?4?0． ?y??x?n因为A，C在椭圆上， 所以???12n2?64?0，解得?4343?n?． 33(x2，y2)， 设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，3n2?43n则x1?x2?，x1x2?，y1??x1?n，y2??x2?n．
42所以y1?y2?． 所以AC的中点坐标为??3nn?，?． ?44??3nn?，?在直线y?x?1上， 44??n2由四边形ABCD为菱形可知，点?所以?n43n?1，解得n??2． 4所以直线AC的方程为y??x?2，即x?y?2?0． （Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且?ABC?60o， 所以AB?BC?CA． 所以菱形ABCD的面积S?232AC． 222?3n2?16由（Ⅰ）可得AC?(x1?x2)?(y1?y2)?，
2所以S??43343?(?3n2?16)???n?． ???433??所以当n?0时，菱形ABCD的面积取得最大值43． ★ 2008年北京20．（共13分）
5，3，2， （Ⅰ）解：A0：T1(A0)：3，4，2，1， A1?T2(T1(A0))：4，3，2，1； T1(A1)：4，3，2，1，0， A2?T2(T1(A1))：4，3，2，1．
L，an， （Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A为a1，a2，则T1(A)为n，a1?1，a2?1，L，an?1， 从而
S(T1(A))?2[n?2(a1?1)?3(a2?1)?L?(n?1)(an?1)]?n2?(a1?1)2?(a2?1)2?L?(an?1)2．
22?L?an又S(A)?2(a1?2a2?L?nan)?a12?a2，
所以S(T1(A))?S(A)
??n(n?1)?n2?n?0，
故S(T1(A))?S(A)．
L，an． （Ⅲ）证明：设A是每项均为非负整数的数列a1，a2，当存在1≤i?j≤n，使得ai≤aj时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B， 则S(B)?S(A)?2(iaj?jai?iai?jaj)?2(i?j)(aj?ai)≤0．
L，am为C， 当存在1≤m?n，使得am?1?am?2?L?an?0时，若记数列a1，a2，则S(C)?S(A)． 所以S(T2(A))≤S(A)．
1，2，L) 从而对于任意给定的数列A0，由Ak?1?T2(T1(Ak))(k?0，可知S(Ak?1)≤S(T1(Ak))．
又由（Ⅱ）可知S(T1(Ak))?S(Ak)，所以S(Ak?1)≤S(Ak)． 即对于k?N，要么有S(Ak?1)?S(Ak)，要么有S(Ak?1)≤S(Ak)?1．
因为S(Ak)是大于2的整数，所以经过有限步后，必有S(Ak)?S(Ak?1)?S(Ak?2)?L． 即存在正整数K，当k≥K时，S(Ak?1)?S(Ak)． ★ 2007年北京19．（共13分）
解：（I）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O?xy（如图），则点C的横坐标为x．
x2y2点C的纵坐标y满足方程2?2?1(y≥0)，
r4r解得y?2r2?x2(0?x?r) ?2(x?r)gr2?x2， 其定义域为?x0?x?r?．
0?x?r， （II）记f(x)?4(x?r)2(r2?x2)，则f?(x)?8(x?r)2(r?2x)． 令f?(x)?0，得x?r．
因为当0?x?时，f?(x)?0；当?x?r时，f?(x)?0，所以f?r?是f(x)的最大值．
22?2?因此，当x?r时，S也取得最大值，最大值为f?r??r2． 22?2?即梯形面积S的最大值为332r． 212rr?1?1?1?33★ 2007年北京20．（共13分） （I）解：集合?01，，2，3?不具有性质P．
集合??1，2，3?具有性质P，其相应的集合S和T是S??(?13)，，，(3?1)?，
T??(2，?1)，，?23??．
（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对(ai，aj)共有k2个．
2，L，k)； 因为0?A，所以(ai，ai)?T(i?1，又因为当a?A时，?a?A时，?a?A，所以当(ai，aj)?T时，
(aj，ai)?T(i，j?1，2，L，k)．
从而，集合T中元素的个数最多为(k2?k)?即n≤k(k?1)． 212k(k?1)， 2（III）解：m?n，证明如下：
（1）对于(a，b)?S，根据定义，a?A，b?A，且a?b?A，从而(a?b，b)?T． 如果(a，b)与(c，d)是S的不同元素，那么a?c与b?d中至少有一个不成立，从而
a?b?c?d与b?d中也至少有一个不成立．
故(a?b，b)与(c?d，d)也是T的不同元素．
可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，
（2）对于(a，b)?T，根据定义，a?A，b?A，且a?b?A，从而(a?b，b)?S．如果(a，b)与(c，d)是T的不同元素，那么a?c与b?d中至少有一个不成立，从而
a?b?c?d与b?d中也不至少有一个不成立，
故(a?b，b)与(c?d，d)也是S的不同元素．
可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m， 由（1）（2）可知，m?n． ★ 2006年北京（19）（共14分） 解法一：
（Ⅰ）由|PM|－|PN|=22知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实 半轴长a?2.
又半焦距c=2，故虚半轴长b?c2?a2?2.
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