高考数学压轴题答案
★ 2010年北京（19）（共14分）
（I）解：因为点B与A(?1,1)关于原点O对称，所以点B得坐标为(1,?1). 设点P的坐标为(x,y) 由题意得
y?1y?11g?? x?1x?13 化简得 x2?3y2?4(x??1).
故动点P的轨迹方程为x2?3y2?4(x??1)
（II）解法一：设点P的坐标为(x0,y0)，点M，N得坐标分别为(3,yM),(3,yN). 则直线AP的方程为y?1?y0?1y?1(x?1)，直线BP的方程为y?1?0(x?1) x0?1x0?1令x?3得yM?4y0?x0?32y?x?3，yN?00.
x0?1x0?1于是VPMN得面积
又直线AB的方程为x?y?0，|AB|?22， 点P到直线AB的距离d?于是VPAB的面积 当SVPAB|x0?y0|(3?x0)2?SVPMN时，得|x0?y0|? 2|x0?1||x0?y0|. 2又|x0?y0|?0，
所以(3?x0)2=|x02?1|，解得|x0?。 因为x02?3y02?4，所以y0??33 95333). 953故存在点P使得VPAB与VPMN的面积相等，此时点P的坐标为(,?解法二：若存在点P使得VPAB与VPMN的面积相等，设点P的坐标为(x0,y0) 则|PA|g|PB|sin?APB?|PM|g|PN|sin?MPN. 因为sin?APB?sin?MPN, 所以
|PA||PN|? |PM||PB||x0?1||3?x0|? |3?x0||x?1|1212 所以
即 (3?x0)2?|x02?1|，解得x0? 因为x02?3y02?4，所以y0??33 953 故存在点PS使得VPAB与VPMN的面积相等，此时点P的坐标为
533(,?). 39★ 2010年北京（20）（共13分）
证明：（I）设A?(a1,a2,...,an)，B?(b1,b2,...,bn)，C?(c1,c2,...,cn)?Sn 因为ai，bi??0,1?，所以ai?bi??0,1?,(i?1,2,...,n) 从而A?B?(|a1?b1|,|a2?b2|,...,|an?bn|)?Sn 又d(A?C,B?C)??||ai?ci|?|bi?ci||
i?1n由题意知ai，bi，ci??0,1?(i?1,2,...,n). 当ci?0时，||ai?ci|?|bi?ci||?||ai?bi|;
当ci?1时，||ai?ci|?|bi?ci||?|(1?ai)?(1?bi)|?|ai?bi| 所以d(A?C,B?C)??|ai?bi|?d(A,B)
i?1n(II)设A?(a1,a2,...,an)，B?(b1,b2,...,bn)，C?(c1,c2,...,cn)?Sn d(A,B)?k，d(A,C)?l，d(B,C)?h.
记O?(0,0,...,0)?Sn，由（I）可知
所以|bi?ai|(i?1,2,...,n)中1的个数为k，|ci?ai|(i?1,2,...,n)的1的
个数为l。
设t是使|bi?ai|?|ci?ai|?1成立的i的个数，则h?l?k?2t 由此可知，k,l,h三个数不可能都是奇数，
即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数。
（III）d(P)?12CmA,B?P?d(A,B),其中
A,B?P?d(A,B)表示P中所有两个元素间距离的总和，
设P种所有元素的第i个位置的数字中共有ti个1，m?ti个0 则
A,B?P?d(A,B)=?t(m?t)
iii?1nm2(i?1,2,...,n) 由于ti(m?ti)?4nm2所以?d(A,B)?
4A,B?P1从而d(P)?2Cmnmmn d(A,B)???24Cm2(m?1)A,B?P2★ 2009年北京19．（本小题共14分）
3x2y2已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，右准线方程为x?
3ab（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆O:x2?y2?2上动点P(x0,y0)(x0y0?0)处的切线，l与双曲线C交
于不同的两点A,B，证明?AOB的大小为定值.
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程
的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
?a23???3，解得a?1,c?3， （Ⅰ）由题意，得?c?c?3??ay2 ∴b?c?a?2，∴所求双曲线C的方程为x??1.
22222（Ⅱ）点P?x0,y0??x0y0?0?在圆x2?y2?2上，
圆在点P?x0,y0?处的切线方程为y?y0??化简得x0x?y0y?2.
?2y2?1?x?2222?y0?2得?3x0由?及x0?4?x2?4x0x?8?2x0?0， 2?xx?yy?20?02?2， ∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0?x02222?4?0，且??16x0∴3x0?4?3x0?4??8?2x0??0，
x0?x?x0?， y0设A、B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?，
24x08?2x0则x1?x2?2， ,x1x2?23x0?43x0?4uuuruuurOA?OB∵cos?AOB?uuuruuur，且
OA?OBuuuruuur1OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?2?2?x0x1??2?x0x2?，
y0228?2x08?2x0??2?2?0. 3x0?43x0?4∴ ?AOB的大小为90?.
【解法2】（Ⅰ）同解法1.
（Ⅱ）点P?x0,y0??x0y0?0?在圆x2?y2?2上，
圆在点P?x0,y0?处的切线方程为y?y0??x0?x?x0?， y0?2y2?1?x?22?y0?2得 化简得x0x?y0y?2.由?及x02?xx?yy?20?0?3x?3x202?4?x2?4x0x?8?2x0?0 ① 2?4?y2?8y0x?8?2x0?0 ②
202?2， ∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0?x02?4?0，设A、B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?， ∴3x0228?2x02x0?8则x1x2?2， ,y1y2?23x0?43x0?4uuuruuur∴OA?OB?x1x2?y1y2?0，∴ ?AOB的大小为90?.
22222?y0?2且x0y0?0，∴0?x0?2,0?y0?2，从而当3x0?4?0时，方程①和（∵x0方程②的判别式均大于零）.
★ 2009年北京20．（本小题共13分）
已知数集A??a1,a2,Lan??1?a1?a2?Lan,n?2?具有性质P；对任意的
i,j?1?i?j?n?，aiaj与
ajai两数中至少有一个属于A.
（Ⅰ）分别判断数集?1,3,4?与?1,2,3,6?是否具有性质P，并说明理由； （Ⅱ）证明：a1?1，且
a1?a2?L?an?an； ?1?1?1a1?a2?L?an（Ⅲ）证明：当n?5时，a1,a2,a3,a4,a5成等比数列.
【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分
分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.
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