培优专题：借助方程求解数轴上的动点问题(压轴题常考题型)
数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于初一年级学生对这类问题的分析，不妨先明确以下几个问题：
1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。
2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。
3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。 一、相关知识准备
1.数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____________。
2.若数轴上点A表示的数为x,点B表示的数为?1，则A与B两点之间的距离用式子可以表示为_____________，若在数轴上点A在点B的右边，则式子可以化简为_____________。
3.A点在数轴上以2个单位长度/秒的速度向右运动，若运动时间为t，则A点运动的路程可以用式子表示为______________。
4.若数轴上点A表示的数为?1,A点在数轴上以2个单位长度/秒的速度向右运动，若运动时间为t，则A点运动t秒后到达的位置所表示的数可以用式子表示为______________。
答案：1、3； 2、x?1，x+1； 3、2t； 4、?1?2t
二、已做题再解：
1、半期考卷的第25题：如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a，B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且a、b满足
a?16?(b??)2?0
（1）点A表示的数为 _________，点B表示的数为________。
（2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度，P、Q两点同时运动，并且在点C处相遇，试求点C所表示的数。
（3）在（2）的条件下，若点P运动到达B点后按原路原速立即返回，点Q继续按原速原方向运动，从P、Q在点C处相遇开始，再经过多少秒，P、Q两点的距离为4个单位长度？
备用图
备用图
解：（1）点A表示的数为 __?16__，点B表示的数为___8____ (2) 设P、Q同时运动t秒在点C处相遇 3t+t=24 解得t=6
此时点C所表示的数是?16+3?6=2
答：点C所表示的数是2.
（2）再经过a秒，P、Q两点的距离为4个单位长度
分类讨论：① 从点C处相遇后反向而行，点P到达B点前相距4个单位长度
3a+a=4 解得a=1
② 点P到达B点后返回，此时相当于点Q在P点前4个单位长度
a?6??3a?6??4 解得a=4
③ 点P到达B点后返回，从后追上Q点后又相距4个单位长度，此时相当于点P在点Q前4个单位长度
3a?6??a?6??4 解得a=8
答：再经过1秒或4秒或8秒，P、Q两点的距离为4个单位长度。
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2、七年级上学期期中模拟（1）的第10题：数轴上有A、B 两点表示—10，30，有两只蚂蚁P、Q同时分别从A、B 两点相向出发，速度分别是2单位单位长度/秒、3个单位长度/秒，当它们相距10个单位长度时，则蚂蚁P在数轴上表示的数是（ ）
解：经过t秒，P、Q相距10个单位长度，则P点运动路程为2t,运动后P点表示数为—10+2t，Q点运动路程为3t
分类讨论：① 还未相遇前相距10个单位长度 2t+3t=40-10 解得t=6
此时P点表示数为—10+2×6=2 ② 相遇后又相距10个单位长度 2t+3t=40+10 解得t=10
此时P点表示数为—10+2×10=10
综上所述，蚂蚁P在数轴上表示的数是2或10
挑战题：1．已知数轴上有A、B、C三点，分别代表—24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。
⑴问多少秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位？
⑵若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？
⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。
分析：如图1，易求得AB=14，BC=20，AC=34
⑴设x秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位。此时甲表示的数为—24+4x。 ①甲在AB之间时，甲到A、B的距离和为AB=14 甲到C的距离为10—（—24+4x）=34—4x 依题意，14+（34—4x）=40，解得x=2
②甲在BC之间时，甲到B、C的距离和为BC=20，甲到A的距离为4x 依题意，20+4x）=40，解得x=5
即2秒或5秒，甲到A、B、C的距离和为40个单位。 ⑵是一个相向而行的相遇问题。设运动t秒相遇。 依题意有，4t+6t=34，解得t=3.4
相遇点表示的数为—24+4×3.4=—10.4 （或：10—6×3.4=—10.4）
⑶甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。而甲到A、B、C的距离和为40个单位时，即的位置有两种情况，需分类讨论。
①甲从A向右运动2秒时返回。设y秒后与乙相遇。此时甲、乙表示在数轴上为同一点，所表示的数相同。甲表示的数为：—24+4×2—4y；乙表示的数为：10—6×2—6y
依题意有，—24+4×2—4y=10—6×2—6y，解得y=7
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(完整版)初一培优专题：数轴上动点问题(有答案)
