名师精编 精品教案
第六章 微分中值定理及其应用
教学目的：
1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；
4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；
5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点：
本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。
教学时数：14学时
§ 1 中值定理（4学时）
教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。
教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。
教学重点：中值定理。 教学难点：定理的证明。 教学难点： 系统讲解法。 一、引入新课：
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通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章 微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）
二、讲授新课： （一）极值概念：
1．极值： 图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2. 可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二） 微分中值定理:
1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性.
2. Lagrange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 .
用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157.
Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数(证)
在区间I上可导且
为I上的常值函数.
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推论2 函数和在区间I上可导且
推论3 设函数若
(证)
但是,
在点的某右邻域上连续,在也存在,且有
内可导.
存在,则右导数
不存在时, 却未必有
不存在. 例如对函数
虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得).
Th ( 导数极限定理 ) 设函数内可导. 若极限由该定理可见,若函数
的连续点,要么是点点可导时,导函数
存在, 则
在点的某邻域内连续,在
也存在, 且( 证 )
在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上不可能有第二类间断点.
在区间I上
推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数 在闭区间 上可导, 且
( 证 )
Th ( Darboux ) 设函数 为介于
与
在区间 上可导且
. 若
之间的任一实数, 则 对辅助函数
设, 应用系4的结果. ( 证 )
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3. Cauchy中值定理: Th 3 设函数 和 在闭区间 和
在
内不同时为零, 又
.
上连续, 在开区间
则在
内可导,
内至少存在一点
使
证 分析引出辅助函数 上满足Rolle定理的条件,
. 验证 在
必有 , 因为否则就有
.这与条件“ 和 在
内不
同时为零”矛盾.
Cauchy中值定理的几何意义. （三）中值定理的简单应用: 1. 证明中值点的存在性
例1 设函数 在区间 使得
证 在Cauchy中值定理中取 例2
试证明:
设函数在区间
上连续,在
. 上连续, 在
内可导, 则 .
,
.
内可导,且有
.
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2. 证明恒等式: 原理. 例3 证明: 对
, 有
.
例4 设函数 和 可导且
.
证明
.
又 则
例5 设对 数. 则函数
, 有
).
, 其中
是正常
是常值函数. (证明
3. 证明不等式: 例6 证明不等式:
时,
.
例7 证明不等式: 对
，有
.
4. 证明方程根的存在性: 证明方程
在
内有实根.
例8 证明方程
在
内有实根.
§ 2 柯西中值定理和不定式的极限（2学时）
教学目的：
1. 掌握讨论函数单调性方法；
2. 掌握L’Hospital法则，或正确运用后求某些不定式的极限。 教学要求：
1. 熟练掌握L’Hospital法则，并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极
数学分析教案(华东师大版)第六章微分中值定理及其应用
