立体几何
典型例题 类型一：三视图
例1. 陕西理5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ） （A）8?（B）8?2? 3?3（C）8?2?
2?（D）
3即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是
18?. V?23????22?2?8?33
类型二：关于球
例2. 已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=3，?ASC??BSC?30?，则棱
锥S—ABC的体积为
A．33
B．23
C．3
D．1
变式训练2. （四川）如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________．
2
答案：2πR
解析：如图，设求的一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，则圆柱的侧面积S?2??Rsin??2Rcos??2?R2sin2?，当??表面积与该圆柱的侧面积之差为2?R2．
类型三：平行与垂直的证明
例3.如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD， AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：（1）直线EF//平面PCD； （2）平面BEF⊥平面PAD.
变式训练3：如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，AB=2,CE=EF=1
?4时，S取最大值2?R2，此时球的
(第16题图)（Ⅰ）求证：AF//平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;
证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1，AG=
1AG=1 2 所以四边形AGEF为平行四边形 所以AF∥EG
因为EG?平面BDE,AF?平面BDE, 所以AF∥平面BDE
（Ⅱ）连接FG。因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF
∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.
类型四：
例4： 如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC，AA1?AB，D为BB1的中点，E为
AB1上的一点，AE?3EB1．
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线； （Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角
A1?AC1?B1的大小．
(19)解法一：
（I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.
因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1. ………………3分
作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.
又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD. 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.
（II）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45° 设AB=2，则AB1=
，DG=
，CG=
，AC=
.
作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.
变式训练4：已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小. 证明：
设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。
111），N（,0,0），S（1,,0）. 222uuuurruuuuruuur1uuu1111（Ⅰ）CM?(1,?1,),SN?(?,?,0),因为CM?SN????0?0，
22222则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,
2024年高三数学第二轮复习讲义 立体几何 理
