立体几何
典型例题 类型一:三视图
例1. 陕西理5.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是 ( ) (A)8?(B)8?2? 3?3(C)8?2?
2?(D)
3即一个正方体中间去掉一个圆锥体,所以它的体积是
18?. V?23????22?2?8?33
类型二:关于球
例2. 已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=3,?ASC??BSC?30?,则棱
锥S—ABC的体积为
A.33
B.23
C.3
D.1
变式训练2. (四川)如图,半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________.
2
答案:2πR
解析:如图,设求的一条半径与圆柱相应的母线夹角为α,则圆柱的侧面积S?2??Rsin??2Rcos??2?R2sin2?,当??表面积与该圆柱的侧面积之差为2?R2.
类型三:平行与垂直的证明
例3.如图,在四棱锥P?ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD, AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点 求证:(1)直线EF//平面PCD; (2)平面BEF⊥平面PAD.
变式训练3:如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC,AB=2,CE=EF=1
?4时,S取最大值2?R2,此时球的
(第16题图)(Ⅰ)求证:AF//平面BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面BDF;
证明:(Ⅰ)设AC于BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1,AG=
1AG=1 2 所以四边形AGEF为平行四边形 所以AF∥EG
因为EG?平面BDE,AF?平面BDE, 所以AF∥平面BDE
(Ⅱ)连接FG。因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF
∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.
类型四:
例4: 如图,直三棱柱ABC?A1B1C1中,AC?BC,AA1?AB,D为BB1的中点,E为
AB1上的一点,AE?3EB1.
(Ⅰ)证明:DE为异面直线AB1与CD的公垂线; (Ⅱ)设异面直线AB1与CD的夹角为45°,求二面角
A1?AC1?B1的大小.
(19)解法一:
(I)连接A1B,记A1B与AB1的交点为F.
因为面AA1BB1为正方形,故A1B⊥AB1,且AF=FB1,又AE=3EB1,所以FE=EB1,又D为BB1的中点,故DE∥BF,DE⊥AB1. ………………3分
作CG⊥AB,G为垂足,由AC=BC知,G为AB中点.
又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG,则DG∥AB1,故DE⊥DG,由三垂线定理,得DE⊥CD. 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.
(II)因为DG∥AB1,故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角,∠CDG=45° 设AB=2,则AB1=
,DG=
,CG=
,AC=
.
作B1H⊥A1C1,H为垂足,因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1,故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1,K为垂足,连接B1K,由三垂线定理,得B1K⊥AC1,因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.
变式训练4:已知三棱锥P-ABC中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=?AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
(Ⅰ)证明:CM⊥SN;
(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小. 证明:
设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图。
111),N(,0,0),S(1,,0). 222uuuurruuuuruuur1uuu1111(Ⅰ)CM?(1,?1,),SN?(?,?,0),因为CM?SN????0?0,
22222则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,
2020年高三数学第二轮复习讲义 立体几何 理
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