???????8分
所以?的期望为E??5?50%?0?(50%?2%?p)?(?45)?2%?(?145)?p
?2.5?90%?145p ???????11分 所以当 1.6?145p?0时，即p? 所以当0?p?87258725 ???????12分
时，福彩中心可以获取资金资助福利事业???????13分
17.解：（I）因为点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上
所以PH?平面ABC，所以PH?AC ???????1分
因为在直角梯形ABCD中，?ABC??DAB?90?，?CAB?30?，
BC?2，AD?4
所以AC?4，?CAB?60?，所以?ADC是等边三角形，
所以H是AC中点， ???????2分
所以HE//PC ???????3分 同理可证EF//PB
又HE?EF?E,CP?PB?P
所以EFH//PBC平面PBC ???????5分 （II）在平面ABC内过H作AC的垂线
如图建立空间直角坐标系，
则A(0,?2,0)，P(0,0,23)，B(3,1,0) ???????6分
????因为E(0,?1,3)，HE?(0,?1,3) ?设平面PHB的法向量为n?(x,y,z) ????????因为HB?(3,1,0)，HP?(0,0,23)
AFxPEHBCyz????????3x?y?0?HB?n?0?????所以有?，即?，
z?0?HP?n?0???令x??3,则y??3, 所以 n?(3,?3,0) ???????8分
??????????n?HE33??cos?n,HE????????? ???????10分
4|n|?|HE|2?23所以直线HE与平面PHB所成角的正弦值为34 ???????11分
(III)存在，事实上记点E为M即可 ???????12分
因为在直角三角形PHA中，EH?PE?EA?12PA?2， ???????13分
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在直角三角形PHB中，点PB?4,EF?12PB?2
所以点E到四个点P,O,C,F的距离相等 ???????14分 18.解: (I) 因为S(t)?当a?0，S(t)?1212t|t?a|e，其中t?a ???????2分
|t|e，其中t?0 12te，S'(t)?tt当t?0时，S(t)?12(t?1)e，
t所以S'(t)?0，所以S(t)在(0,??)上递增， ???????4分 当t?0时，S(t)??1t2te，S'(t)??12(t?1)et，
令S'(t)??1(t?1)et2?0， 解得t??1，所以S(t)在(??,?1)上递增
令S'(t)??12(t?1)et?0， 解得t??1，所以S(t)在(?1,0)上递减 ?????7分
综上，S(t)的单调递增区间为(0,??)，(??,?1) S(t)的单调递减区间为(?1,0) （II）因为S(t)?1t2|t?a|e，其中t?a
当a?2，t?[0,2]时，S(t)?12(a?t)et
因为?t0?[0,2]，使得S(t0)?e，所以S(t)在[0,2]上的最大值一定大于等于e
S'(t)??1[t?(a?1)]et2，令S'(t)?0，得t?a?1 ???????8分当a?1?2时，即a?3时
S'(t)??1t2[t?(a?1)]e?0对t?(0,2)成立，S(t)单调递增
所以当t?2时，S(t)取得最大值S(2)?12(a?2)e2
令1(a?2)e2?e ，解得 a?22e?2 ，
所以a?3 ???????10分 当a?1?2时，即a?3时
S'(t)??1[t?(a?1)]et2?0对t?(0,a?1)成立，S(t)单调递增
S'(t)??12[t?(a?1)]et?0对t?(a?1,2)成立，S(t)单调递减
所以当t?a?1时，S(t)取得最大值S(a?1)?12ea?1
令S(a?1)?1a?12e?e ，解得a?ln2?2
所以ln2?2?a?3 ???????12分
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综上所述，ln2?2?a ???????13分 19.解:(I)因为椭圆M:xa22?yb22?1(a?b?0)的四个顶点恰好是一边长为2，
一内角为60? 的菱形的四个顶点, 所以a?3,b?1,椭圆M的方程为
x22?y?1 ???????4分
3(II)设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AB的垂直平分线通过点(0,?)， 显然直线AB有斜率，
21当直线AB的斜率为0时,则AB的垂直平分线为y轴,则x1??x2,y1?y2 所以S?AOB=212|2x1||y1|?|x1||y1|?|x1|1?x1?(3?x1)222x123?x1(1?2x123)?1322x1(3?x1)
因为x1(3?x1)?所以S?AOB?322?3262，
时，S?AOB取得最大值为32，当且仅当|x1|? ??????6分
当直线AB的斜率不为0时,则设AB的方程为y?kx?t
?y?kx?t?222所以?x2，代入得到(3k?1)x?6kt?3t?3?0 2?y?1??322当??4(9k?3?3t)?0, 即3k2?1?t2①
方程有两个不同的解 又x1?x2??6kt3k?1t3k?122，
x1?x22??3kt3k?1?12 ???????9分
y1?y2所以
y1?y22?，又
2??1，化简得到3k2?1?4t ②
x1?x2k0?22代入①，得到0?t?4 ???????10分
|t|k?12又原点到直线的距离为d?
|AB|?1?k|x1?x2|?21?k24(9k?3?3t)3k?12222
所以S?AOB=12|AB||d|?122|t|k?121?k24(9k?3?3t)3k?122
化简得到S?AOB=143(4t?t) ???????12分
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因为0?t?4，所以当t?2时，即k??3273时，S?AOB取得最大值32
综上，?AOB面积的最大值为20.（I）解：法1：
1?22130?71 ???????14分
??????改变第4列1?221307?1??????改变第2行122?13071
法2：
1?22130?71??????改变第2行122?130?7?1??????改变第4列122?13071
法3：
1?22130?71??????改变第1列?122130?71??????改变第4列?1221307?1
???????3分
(II) 每一列所有数之和分别为2，0，?2，0，每一行所有数之和分别为?1，1; ①如果首先操作第三列，则
a2?aa?11?a22a2?a?aa22
则第一行之和为2a?1，第二行之和为5?2a， 这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数， 所以 a?12或a?1252
当a??a2?a时，则接下来只能操作第一行，
221?a1?a?a2?aaa22
22此时每列之和分别为2?2a,2?2a,2?2a,2a
必有2?2a2?0，解得a?0,?1 当a?aa?252时，则接下来操作第二行
a?1a?122aa?2?a?a22
此时第4列和为负，不符合题意. ???????6分 ② 如果首先操作第一行
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?a2?a1?a1?a22aa?2aa22
则每一列之和分别为2?2a，2?2a2，2a?2，2a2
当a?1时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉 当a?1时，2?2a，2a?2至少有一个为负数，
所以此时必须有2?2a2?0，即?1?a?1，所以a?0或a??1 经检验，a?0或a??1符合要求
综上：a?0,?1 ???????9分
（III）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。证明如下：
记数表中第i行第j列的实数为cij（i?1,2,?,m;j?1,2,?,n），各行的数字之和分别为a1,a2,?,am，各列的数字之和分别为b1,b2,?,bn，A?a1?a2???am，B?b1?b2???bn，数表中m?n个实数之和为S，则
S?A?B。记
K?mink1ci1?k2ci2???kncin1?i?m?|kl?1或?1(l?1,2,?,n)且k1ci1?k2ci2???kncin?0?T?mint1c1j?t2c2j???tmcmjts?1或?1(s?1,2,?,m)且t1c1j?t2c2j???tmcmj?0
1?j?n?|???min?K,T?．
按要求操作一次时，使该行的行和（或该列的列和）由负变正，都会引起A（和B）增大，从而也就使得
S增加，增加的幅度大于等于2?，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝
对值，显然，S必然小于等于最初的数表中m?n个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时，必是所有的行和与所有的列和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，S就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立。 ???????13分
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北京2013届海淀高三二模数学理科试题及答案
