海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学 （理科） 2013.5
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.集合A??x|(x?1)(x?2)?0?，B??xx?0?，则A?B? A．(??,0] B．(??,1] C．[1,2] D．[1,??)
2.已知数列?an?是公比为q的等比数列，且a1?a3?4，a4?8，则a1?q的值为 A．3 B．2 C．3或?2 D．3或?3 3. 如图，在边长为a的正方形内有不规则图形?. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形?内和正方形内的豆子数分别为m,n，则图形?面积的估计值为 A.
man ? B.
nam C.
man2 D.
nam2
54.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C.276 D.300
????????????????5.在四边形ABCD中，“???R，使得AB??DC,AD??BC”是“四边形
主视图66左视图6ABCD为平
俯视图行四边形”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为
A.32 B. 36 C. 42 D.48
7.双曲线C的左右焦点分别为F1,F2，且F2恰为抛物线y2?4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为
A，若?AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为
A. 2 B.1?2 C.1?3 D.2?3
8. 若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an?T?an成立，则称数列{an}为周期数列，周期
?an?1, an?1，?为T. 已知数列{an}满足a1?m(m?0)，an?1=?1
, 0?an?1.?a?n则下列结论中错误的是 ．．
2013海淀高三二模数学理科 第 1 页 共 10 页
A. 若a3?4，则m可以取3个不同的值 B. 若m?2，则数列{an}是周期为3的数列
C.?T?N*且T?2，存在m?1，{an}是周期为T的数列 D.?m?Q且m?2，数列{an}是周期数列
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在极坐标系中，极点到直线?cos??2的距离为_______. 10.已知a?ln12,b?sin12,c?2?12，则a,b,c按照从大到小排列为______. ．．．．
11.直线l1过点(?2,0)且倾斜角为30?，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2 的交点坐标为
____.
12.在?ABC中，?A?30?,?B?45?,a??13.正方体ABCD2，则b?_____;S?ABC?_____.
????????ABCDBD的棱长为，若动点在线段上运动，则P1DC?AP的取值范围是11111______________.
14.在平面直角坐标系中，动点P(x,y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P的轨迹为曲线
W.
(I) 给出下列三个结论：
①曲线W关于原点对称； ②曲线W关于直线y?x对称；
③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于其中，所有正确结论的序号是_____; (Ⅱ)曲线W上的点到原点距离的最小值为______.
12；
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知函数f(x)?1?cos2x2sin(x?π4).
（Ⅰ）求函数f(x)的定义域； (Ⅱ) 求函数f(x)的单调递增区间.
2013海淀高三二模数学理科 第 2 页 共 10 页
16.（本小题满分13分）
福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%. (I)假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率； （II）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p的取值范围.
17. （本小题满分14分）
如图1，在直角梯形ABCD中，?ABC??DAB?90?，?CAB?30?，BC?2，
AD?4. 把?DAC沿对角线AC折起到?PAC的位置,如图2所示,使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落
在线段AC上，连接PB,点E,F分别为线段PA,AB的中点． (I) 求证：平面EFH//平面PBC； (II)求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；
(III)在棱PA上是否存在一点M,使得M到点P,H,A,F四点的距离相等？请说明理由.
CD E A F P
18.（本小题满分13分）
A图1H B 图2 C B已知函数f(x)?ex,点A(a,0)为一定点,直线x?t(t?a)分别与函数f(x)的图象和x轴交于点M,N,记
?AMN的面积为S(t).
（I）当a?0时,求函数S(t)的单调区间；
（II）当a?2时, 若?t0?[0,2],使得S(t0)?e, 求实数a的取值范围.
19. （本小题满分14分）
已知椭圆M:xa22?yb22?1(a?b?0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点.
?（I）求椭圆M的方程；
2013海淀高三二模数学理科 第 3 页 共 10 页
（II）直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点(0,?)，求?AOB
21（O为原点）面积的最大值.
20.（本小题满分13分）
设A是由m?n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.
(Ⅰ) 数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1
(Ⅱ) 数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a的所有可能值；
(Ⅲ)对由m?n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，
a2?aa?11?a221 ?2 2 1 3 0 ?7 1 ?aa?2?aa22能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之 表2 和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.
2013海淀高三二模数学理科 第 4 页 共 10 页
海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学 （理）2013．5
参考答案
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B 8 D 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）
3?19． 2；10． c?b?a；11. (1,3)；12． 2，；13． [0,1]；14． ②③;2?2 2三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（I）因为sin(x?π4)?0所以x?π4?kπ,k?Z ????????2分 π4,k?Z} ????????4分
所以函数的定义域为{x|x?kπ+ （II）因为f(x)?1?cosx?sinxsinx?cosx22 ????????6分
2sin(x?π2π4) ????????8分 π2) ，k?Z ?x?2kπ?π4= 1+(cosx?sinx)= 1?又y?sinx的单调递增区间为 (2kπ?令 2kπ?π2?x?π4?2kπ?π2,2kπ? 解得 2kπ?3π4 ????????11分
又注意到x?kπ+π4,
3π4,2kπ?π4)， k?Z ???????13分
所以f(x)的单调递增区间为(2kπ?16. 解：（I）设至少一张中奖为事件A
2则P(A)?1?0.5?0.75 ???????4分
(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为?
则?可以取5,0,?45,?145 ???????6分 ?的分布列为
? P 5 50% 0 ?45 2% ?145 50%?2%?p p 2013海淀高三二模数学理科 第 5 页 共 10 页
北京2013届海淀高三二模数学理科试题及答案
