定义
给定向量组A: a1, a2, ···, am , 如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km , 使
k1 a1 + k2 a2 + ··· + km am = 0
则称向量组A是线性相关的, 否则称它是线性无关.
注意
1、对于任一向量组而言, 不是线性无关的就是线性相关的. 2、若a1, a2, ···, am线性无关, 则只有当 k1= k2 = ··· = km=0时, 才有 k1 a1 + k2 a2 + ··· + km am = 0成立. 3、向量组A只包含一个向量a时,若a=0则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关.
4、包含零向量的任何向量组是线性相关的. 5、含有相同向量的向量组必线性相关.
6、增加向量的个数，不改变向量的相关性.(注意，原本的向量组是线性相关的)
【局部相关，整体相关】
7、减少向量的个数，不改变向量的无关性.(注意，原本的向量组是线性无关的）
【整体无关，局部无关】
8、任意n+1个n维向量必线性相关. 【个数大于维数必相关】
9、一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关.
【无关组的加长组仍无关】
10、一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关.
【相关组的缩短组仍相关】
定理
1、向量a1,a2,···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的（至少有一个）一个为其余(n-1)个向量的线性组合。 2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。 3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。
4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。
5、空间中任意四个向量总是线性相关。
我以为同一个线性相关的向量组（n个向量）里的向量应该都能够用这个组里的其他n-1个向量表示而成，结果出乎我意料的是书上说至少有一个能由其他n-1个向量线性表示，注意是至少有一个，不是全部，结果不幸的是我成了其中的一个，所以我选择线性无关。线性相关又如何，还不是不能由别人来表示，线性无关又何妨？大家都高兴，即使不高兴也可以装高兴，不是多好吗？纠结的线性相关，蛋疼的线性无关，你说该线性相关还是线性无关呢？选择线性无关何必还去想线性相关呢？是不？既然是线性相关，就应该成为能够用别人表示的一份子，既然不能这样，就线性无关吧，虽然书上没说不能选择，但是现实中却是可以选择线性相关或无关的，果断的...我纠结的选择线性无关，虽然偶尔会烦躁，比如现在，但是总比线性相关着并且一直烦躁好吧，好吧，我思想境界低，我是坏人，没有达到无法无念的境界，年少气盛是通病.如果让我在魔和神之间选择一个，我会选择魔，魔神或许更好，半魔半神，魔神毕竟也是神，虽然有个魔字，孰能理解魔神的无奈。当累了变成泪了，当无奈变成无赖，你会怎样选择？线性无关？线性相关？亦或许还有其他选择？这是本坏人今天看线性代数的感慨
在一本资料书上看到如下两句话
一向量组线性相关，则在相同位置上去掉相同个数的分量所得的向量组仍线性相关
一向量组线性无关，则在相同位置上增加相同个数的分量所得的向量组仍线性无关
个人认为是错的
好像与教材上说的：
若向量组A：a1,a2.....am线性相关，则向量组B:a1,a2......am,a(m+1)也线性相关，反之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关 矛盾了
请高人说说那两句话的正确性，并给出理由。
最佳答案
资料书上和教材上的都是对的，两者并不矛盾，注意区分下列两种说法： （1）向量组向量总数不变但都增加（或都去掉）相同个数的分量；
（2）向量组每个向量的分量个数（即维数）不变但向量组向量个数增加（或减少）；
向量组线形相关可理解为存在一组系数，
对向量组的每一维，该系数对应的线性方程都成立， 线性无关则可理解为不存在满足上述条件的系数。
一n维向量组线性相关，说明存在一组系数使n维对应的n个方程都成立， 去掉相同个数的分量，维数降低，方程个数减少， 同一组系数当然还是能使每个方程成立。
一n维向量组线性无关，说明不存在一组系数使n维对应的n个方程都成立， 增加相同个数的分量，维数增加，方程个数变多，
满足更强条件的系数当然就更不存在了。
增加向量组向量的个数，相当于增加上述线性方程的元数， 如果较少元数都能找到满足条件的系数，取同一组系数，
对增加的元数令系数为0，易知如此扩展的一组系数也必定满足条件。 上述结论的逆否命题即为，
减少向量组向量的个数，原来无关的向量组仍应无关。
选择题：已知向量组，a1,a2,a3,a4线性无关，则向量组（）
A a1+a2, a2+a3, a3+a4， a4+a1 线性无关 B a1-a2, a2-a3, a3-a4, a4-a1 线性无关 C a1+a2, a2+a3, a3+a4, a4-a1 线性无关 D a1+a2, a2+a3, a3-a4, a4-a1 线性无关
后面答案是这么写的
由于（a1+a2）-(a2+a3)+(a3+a4)-(a4+a1)=0 (a1-a2) +(a2-a3)+(a3-a4)+(a4-a1)=0 (a1+a2) -(a2+a3)+(a3-a4)+(a4-a1)=0 所以A,B,D这三个是错的。 可是我看不懂这是什么意思，不知道哪位能给解答一下，或者用别的方法把这道题解出来也可以，感激不尽~
最佳答案
你看下线性相关和线性无关的定义就知道了
定义是这样的：设A1，A2，……，An是一个向量组，如果存在不全为零的常数K1，K2，……，Kn，使得式子（一）K1A1+K2A2+……+KnAn=0，则称A1，A2，……，An这个向量组线性相关，如果要K1，K2，……，Kn全为零式子（一）才成立的话，那他就线性无关了。α
替换定理
设向量组（1）α1，αβ1，β
22，…α
s线性无关，且（1）中每个向量都可由向量组（2）
，…βt线性表示，则
1） s≤t;
2） 必要时可对向量组（20中的向量重新编号，使向量组α1，α（2） β1，β
22，…α
s与向量组
，…βt等价。
线性相关性
