平面与平面平行的判定
【教学目标】
1．掌握空间两个平面的位置关系，掌握两个平面平行的定义；
2．掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化。
【教学重点】
两个平面平行的判定定理、性质定理
【教学难点】
两个平面平行的判定定理、性质定理的应用
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习引入：
1．直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类。
它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a??，a??A，a//?。
aaA?a??
2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
推理模式：l??,m??,l//m?l//?。 证明：假设直线l不平行与平面?， ∵l??，∴l??P， 若P?m，则和l//m矛盾，
若P?m，则l和m成异面直线，也和l//m矛盾， ∴l//?。
3． 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
推理模式：l//?,l??,??lm??m?l//m。
证明：∵l//?，∴l和?没有公共点， 又∵m??，∴l和m没有公共点；
即l和m都在?内，且没有公共点，∴l//m。 二、讲解新课：
1．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行。
?2．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的。
3．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行。
推理模式：：a??，b??，ab?P，a//?，b//???//?。 分析：这个定理从正面证(用定义)比较困难，所以考虑用反证法。 启发：（1）如果平面?和平面?不平行，那么它们的位置关系怎样？ （3）相交直线a与b都与交线c平行，这合理吗？为什么？ 证明：假设???c， ∵a??，a//?， ∴a//c，同理b//c。
即在平面?内过点P有两条直线与c平行，与公理4矛盾， ∴假设不成立，∴?//?。
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。
推理模式：
ab?P,a??,b??,a?b??P?,a???,b???,a//a?,b//b???//?。
?c?Pba（2）如果平面?和平面?相交，那么交线c和平面?中的直线a与b各有怎样的位置关系？
4．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
推理模式：?//?,??a???a,???b?a//b。
?b证明：∵?//?,a??,b??，∴a,b没有公共点， 又∵a??,b??，∴a//b。
同理可得面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
推理模式：?//?,a???a//?。 三、讲解范例：
例1 已知直线a、b异面，平面?过a且平行于b，平面?过b且平行于a， 求证：?∥?
分析：线面平行 ? 线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行 证明：过a作平面?，使????a' ∵a∥?，a??，????a'，∴a∥a' 又∵a'??，a??，∴a'∥?且b∥? 又a、b异面，∴a'与b必相交，∴?∥?。 例2．夹在两个平行平面间的两条平行线段相等。
已知：?//?，AB,CD是夹在两个平行平面?,?间的平行线段， 求证：AB?CD。
证明：∵AB//CD，∴ AB,CD确定平面AC， ∴平面AC??AD，平面ACβ α a
b
??ADBC??BC，
a
?∴AD//BC，四边形ABCD是平行四边形。∴AB?CD。 例3．若?//?，?//?，则?//?。 证明：在平面?内取两条相交直线a,b，
b a? 分别过a,b作平面?,?，使它们分别与平面?交于两相交直线a?,b?， ? b? a??∵?//?，∴a//a?,b//b?，
? b??又∵?//?，同理在平面?内存在两相交直线a??,b??， 使得a?//a??,b?//b??， ∴a//a??,b//b??， ∴?//?。
例4 有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′。要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC有什么关系？
解：（1）∵BC∥面A′C′，
面BC′经过BC和面A′C′交于B′C′， ∴BC∥B′C′。
经过点P，在面A′C′上画线段EF∥B′C′， 由公理4，得：EF∥BC．
∴EF?面BF，B?面BF。连结BE和CF。 BE，CF和EF就是所要画的线。 （2）∵EF∥BC，根据判定定理，则EF∥面AC；BE、CF显然都和面AC相交。
总结：解题时，应用直线和平面平行的性质定理，要注意把线面平行转化为线线平行。 四、课堂练习：
在例题4的图中，如果AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关系。为什么？
答：因为AD∥BC，BC?面BC′，AD?面BC′，所以AD∥面BC′ 同理AD∥面BF。
又因为BC∥面A′C′，过BC的面EC与面A′C′交于EF，
所以EF∥BC，又BC∥AD，所以AD∥EF。因此EF?面A′C′，AD??面A′C′ 得AD∥?面A′C′。
五、小结 ：1．面面平行的判定和性质；2．灵活地实现“面面”、“线面”、“线线”平行间的转换
平面与平面平行的判定 优秀教案
