习题五 Z变换
习题五 Z变换
． 求以下序列的z变换，并画出零极点图和收敛域。
n(1)x(n)?an(|a|?1)(2)x(n)???1??2??u(n)n(3)x(n)????1??2??u(?n?1)(4)x(n)?1n,(n?1)(5)x(n)?nsin(?0n),n?0(?0为常数）(6)x(n)?Arncos(?0n??)u(n),0?r?1
分析： ??Z[x(n)]?X(z)?x(n)z?nZ 变换定义n???， n的取值是x(n)的有值范围。Z变换的收敛域 是满足 ?)z?n?M??n?x(n???的z值范围。
解：(1) 由Z变换的定义可知： ?X(z)?zn?n???1an?z?n??n????n?a????anz?nn?0????anzn?n?1?anz?nn?0?az11?1?az?a?a21?(1?az)(1?az?1)z?(a2?1)za(z?1a)(z?a)
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a1收敛域： az?1,且z?1 即： a?z?
a
极点为： z?a,z?1a 零点为： z?0,z??
解：(2) 由z变换的定义可知：
? X(z)?(1)nu(n)z?n n????2???(12)nz?n n?0 1? ?? 1 ? n(2)x(n) ??2??u(n)1?1 ?12z收敛域： 12?1z?1 即： z?12 极点为： z?12 零点为： z?0
(3)x(n)????1?n?2??u(?n?1)
解:（3） X(z)????(1)n?1u(?n?1)z?n???(1)nz?nn???2n???2 ? ???2nzn ??2zn?11?2z
?11?1 ?12z 收敛域： 2z?1 即： z?12
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极点为： z?12 零点为： z?0
(4)x(n)?1
n,(n?1)解： (4) X(z)???1?z?n
n?1n ?dX(z)??1(?n)z?n?1???(?z?n?11?dzn??1n)?n??1z?z2 ，|z|?1 ?X(z)?lnz?ln(1?z)?lnz1?z 因为X(z)的收敛域和dX(z)dz的收敛域相同， 故X(z)的收敛域为|z|?1。 极点为：z?0,z?1 零点为： z??
(5)x(n)?nsin?0n,n?0(?0为常数）
解：(5) 设 y(n)?sin(?0n)?u(n) ??1则有 Y(z)?y(n)?z?n?zsin?01?2z?1cos??2，|z|?1 n????0?z而 x(n)?n?y(n) ∴X(z)??zddz?Y(z)?z?1(1?z?2)sin?0(1?2z?1cos??2)2,|z|?1 0?z因此，收敛域为 ：z?1
极点为： z?ej?0,z?e?j?0 （极点为二阶）零点为： z?1,z??1,z?0,z??
(6)x(n)?Arncos(?0n??)u(n),0?r?1解：(6)
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设 y(n)?cos(?0n??)?u(n) ?[(cos(?0n)?cos??sin(?0n)?sin?]u(n) ?cos??cos(?0n)?u(n)?sin??sin(?0n)?u(n)
Y(z)?cos??1?z?1cos?1?0z?sin?01?2z?1cos??2?sin??0?z1?2z?1cos?0?z?2 ?cos??z?1cos(???0)1?2z?1cos??2, z?10?z则 Y(z) 的收敛域为 z?1 而 x(n)?Arn?y(n)? X(z)?A?Y(z)?A?cos??z?1rcos(???0)?r1?2z?1rcos?2?2 0?rz则X(z) 的收敛域为 ： z?|r| 。2 . 假如x(n)的z变换代数表示式是下式，问X(z)可能有多少 不同的收敛域。 1?1z?2 X(z)?(1?14 ?25?134z)(1??24z?8z)分析： 有限长序列的收敛域为 ： 0?z?? , n1?n?n2 特殊情况有 ： 0?z?? , n1?0 0?z?? , n2?0 右边序列的收敛域为 ： Rx??z?? , n?n1 因果序列的收敛域为 ： Rx??z?? , n?n1?0 左边序列的收敛域为 ： 0?z?Rx? , n?n2 特殊情况有 ： z?Rx? , n?n2?0 双边序列的收敛域为 ： Rx??z?Rx?有三种收敛域 ： 圆内 、 圆外 、 环状（ ?0 ， z?? 要单独讨论 ）解 : 对X(Z)的分子和分母进行因式分解得
(1?1Z?1)(1?1Z?1X(Z)?22)(1?1Z?2)(1?1Z?1)(1?34Z?142)1?1 1??2Z(1?1jZ?1)(1?1jZ?1)(1?3
Z?1224)
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X(Z)的零点为 : 1/2 ， 极点为 : j/2 , -j/2 , -3/4 ∴ X(Z)的收敛域为 :
(1) 1/2 < | Z | < 3/4 , 为双边序列， 请看 <图形一> (2) | Z | < 1/2 , 为左边序列，请看 <图形二>
(3) | Z | > 3/4 ， 为右边序列， 请看 <图形三>
3.用长除法,留数定理,部分分式法求以下X(z)的z反变换1?1z?1) X(z)?, z?1 (21?2z?1 (1211?1) X(z)?z?221?1, z?
z?1444 (3)X(z)?z?a11?az, z?a分析： 长除法：对右边序列（包括因果序列）H（z）的分子、分母都要按 z的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列）H（z）的分子、分 母都要按z的升幂排列。 部分分式法：若X（z）用z的正幂表示，则按X(z)/z 写成部分分 式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z反变换可得 x（n）。 留数定理法： （1） 注意留数表示是 Res (X(z)zn?1)z?z?(z?zk)X(z)zn?1kz?zk 因而 X(z)zn?1 的表达式中也要化成 1/(z?zk) 的形式才能相抵 消 ， 不能用 1/(1?z?1kz) 来和（ z?zk） 相抵消 ， 这是常出 现的错误 。（2） 用围线内极点留数时不 必取“?” 号（负号） ， 用围线外极点留 数时要取“?” 号（负号） 。（1）（i）长除法： 1?1?1X(z)?2z1 1?1?4z?21?12z?1极点为z??1/2,而收敛域为：|z|?1/2,
因而知x(n)为因果序列，所以分子分母要按降幂排列
1?1z?1?1z?224????
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求以下序列的z变换
