A型 B型 总计
使用秀命不高于6年
30 50 80
使用寿不低于7年
70 50 120
总计 100 100 200
由列联表可知：K2＝≈8.33＞6.635，
（2）记事件A1，A2分别表示小李选择A型出租车和B型出租车时，3年内（含6年）换车，
因为P（A1）＜P（A2），所以小李应选择A型出租车． 20．已知椭圆
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F，斜率为1的直线l与C交于不同的两点A，B，设kMA，kMB表示直线MA，MB的斜率，求证：kMA+kMB＝﹣1．
【分析】（1）利用离心率以及椭圆左顶点坐标，求解a2＝4，b2＝3，得到椭圆C的方程．（2）求出直线AB的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，然后化简求解斜率的和，推出结果即可． 解：（1）因为
，a＝2，则a2＝4，b7＝3，故椭圆C的方程
．
的左顶点为M（﹣2，0），离心率为．
（2）证明：根据题意，直线AB的方程为x＝y+1，由方程组，消去x整理
得7y2+6y﹣9＝0． ∵直线MA的斜率
，直线MB的斜率
，
＝
＝
＝．
21．已知函数f（x）＝kx﹣xlnx在（0，+∞）上的最大值为1． （1）求f（x）的解析式；
（2）讨论F（x）＝f（x）﹣cosx的零点的个数．
【分析】（1）求导，判断函数的单调性，进而得到最值，结合题意，即可求得k＝1，由此求得函数解析式；
（2）对F（x）求导，再设（x）＝sinx﹣lnx，分x∈（e，+∞），1），
讨论即可得出零点情况．
，x∈（0，
解：（1）由f（x）＝kx﹣xlnx，得f'（x）＝k﹣1﹣lnx，
﹣﹣
令f'（x）＞0，得0＜x＜ek1；令f'（x）＜0，得x＞ek1，
故f（x）在x＝ek﹣1处有极大值f（ek﹣4）＝ek﹣1，也是f（x）的最大值， ∴k＝1，故f（x）＝x﹣xlnx．
∴F'（x）＝sinx﹣lnx，设h（x）＝sinx﹣lnx， 又F（e）＝﹣cose＞0，
存在唯一零点，也即在（e，+∞）上存在唯一零点． 因为F'（e）＝sine﹣1＜0，＝6，且在
，所以存在
F'，（x0）
，从而F（x）在
上
上F'（x）＞0，在（x0，e]上F'（x）＜0，
，
，所以F'（x）在（0，1）上单调递减．
又因为F（e）＝﹣cose＞0，（iii）当x∈（0，1）时，
∴t'（x）＝cosx﹣xsinx≤cosx﹣sinx＜0，
所以t（x）＜t（1）＝cos1﹣1＜5，即h'（x）＜0． 因为
所以F（x）在
，所以F（x）在
上单调递增，
上存在唯一零点，
上存在唯一零点，即F（x）在
综上，F（x）有且仅有2个零点．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程（k为参数），以
坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
．
（1）求曲线C1的普通方程；
（2）过曲线C2上一点P作直线l与曲线C1交于A，B两点，中点为D，求|PD|的最小值．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果． （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
，
解：（1）曲线C1的参数方程（k为参数），整理得，又
，
两式相除得：
，代入
，
．根据
转换为直角坐
（2）曲线C2的极坐标方程为标方程为x+y﹣4＝0． 则|AB|＝
，解得d＝1．
当|PC1|最小时，|PD|最小， 根据所以
， ．
23．已知函数f（x）＝3（|x+4|+|x﹣5|）． （1）求f（x）的最小值M；
（2）若正实数a，b，c满足（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝M，求证：|a+b+c|≤12． 【分析】（1）直接利用绝对值三角不等式的放缩即可求得f（x）的最小值M； （2）将[（a+1）+（b+1）+（c+1）]2中的（a+1），（b+1），（c+1）看作整体，展开
后利用基本不等式可得|a+b+c+3|≤9，再由绝对值三角不等式证得结论． 解：（1）∵f（x）＝3（|x+4|+|x﹣5|）≥3|（x+7）﹣（x﹣5）|＝27， 当且仅当（x+4）（x﹣5）≤0时等号成立．
证明：（5）由（1）知，（a+1）2+（b+4）2+（c+1）5＝27．
＝（a+1）2+（b+3）2+（c+1）2+2（a+1）（b+1）+2（b+7）（c+1）+2（a+1）（c+1） ∴|（a+5）+（b+1）+（c+1）|≤9?|a+b+c+3|≤9， ∴|a+b+c|≤12．
2024-2024学年陕西省安康市高三下学期第四次联考数学试卷(文科) (解析版)
