具有Beddington-DeAngelis发生率，垂直感染和时滞
的SEIRS模型稳定性分析
陈利君， 胡志兴， 廖福成
【摘 要】摘 要:研究了一类具有Beddington-DeAngelis发生率、垂直感染和时滞的SEIRS模型.通过对特征方程的分析,讨论了无病平衡点E0和正平衡点E*的局部稳定性.利用Lyapunov函数和LaSalle不变原理证明了当基本再生数R0≤1时在E0一定条件下是全局渐近稳定的,R0>1时时滞改变了正平衡点稳定性并引起Hopf分支.最后进行了数值模拟验证了结论. 【期刊名称】安徽师范大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2016(039)001 【总页数】7
【关键词】稳定性;Lyapunov函数;LaSalle不变原理;Hopf分支;垂直感染 引 言
传染病一直以来都是危害人类及其他种群健康的大敌，长期以来，人类不断地对传染病的发病原理、传播规律进行着研究，不断寻求有效方法来控制疾病的蔓延.传染病动力学对传染病的研究发挥着重要作用，近年来，大量的数学模型都已被应用于各种各样的传染病问题中.在传染病动力学中，主要使用的数学模型是所谓的仓室模型，其中两个经典的基本模型为SIR仓室模型及SIS仓室模型[1].之后在这两类经典模型的基础上，又得到了不断的发展与改进，除在其维数上进行了完善外，还引入了不同的发生率、接触率、死亡率、垂直感染、时滞等[2-11].
基于以上文献分析，本文采用了Beddington-DeAngelis发生率，建立了一个
具有时滞和垂直感染的SEIRS模型，并对模型平衡点的稳定性以及时滞和垂直感染率对疾病的影响进行了研究，从而为如何更好的控制疾病提供了一定的参考，具有一定的实际意义.
1 模型的建立
本模型将总人口数N(t)分为四个仓室：易感者S(t)、潜伏者E(t)、感染者I(t)、免疫者R(t)，根据四个变量之间的相互关系，建立了如下一类具有垂直感染、时滞和Beddington-DeAngelis发生率的SEIRS模型 (1)
其中μ>0为常数代表出生率(和死亡率)；为易感者和感染者之间的Beddington-DeAngelis发生率，β为常数代表接触率；1-p>0为感染者I产生的后代并进入潜伏期E的比率；ε>0为从潜伏者变成易感者的系数，γ>0为常数代表染病者的恢复率，τ≥0为恢复者的免疫时间.
将系统(1)四式相加，可得,易知(t)=1，为简便，在此取极限形式下讨论，即S(t)、E(t)、I(t)、R(t)满足S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=1，此时仅需要考虑以下系统 (2)
系统(2)的初始条件为
S(θ)=φ1(θ),E(θ)=φ2(θ),I(θ)=φ3(θ)， φi(θ)≥0，θ∈[-τ，0)，φi(0)>0，i=1,2,3, (3)
其中,这里}.
定理1 设S(t)为系统(2)满足初始条件(3)的任意解，则有，其中. 证明 令I(t)为满足初始条件(3)的任意解，则有0≤I(t)≤1.
由系统(2)的第一个式子可知 .
因为S(t)为关于I(t)的单调递增的函数，所以有 (t).
又因为-(1-p)μI(t)≥-(1-p)μ，所以,由比较原理，可知，即.
对于系统(2)，为研究方便，从生物学观点考虑，仅仅需要考虑区域Ψ，这里Ψ={(S,E,I，R)|(t)≤1}.
2 平衡点及其稳定性分析
这一部分主要研究了平衡点的存在性及其稳定性的理论分析，通过计算可以确定系统(2)的基本再生数为，并且可以很容易得到以下定理.
定理2 在区域Ψ中，系统(2)总是存在无病平衡点为：E0=(S0,0,0),其中S0=1.当R0>1时，系统(2)存在唯一正平衡点为：E*=(S1,E1,I1)，其中 , 这里.
2.1 无病平衡点稳定性分析
定理3 在系统(2)中，当R0<1，无病平衡点E0是局部渐近稳定的;R0>1 时，E0是不稳定的.
证明 系统(2)在无病平衡点E0的特征方程为： (λ+μ)[λ2+(ε+2μ+γ)λ+(ε+μ)(μ+γ)(1-R0)]=0. 特征方程的特征根为λ=-μ和以下方程的根： λ2+(ε+2μ+γ)λ+(ε+μ)(μ+γ)(1-R0)=0.
具有Beddington-DeAngelis发生率,垂直感染和时滞的SEIRS模型稳定性分析
