[课时作业] [A组 基础巩固]
1．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A．y2＝8x C．y2＝8x或x2＝y
B．x2＝y D．无法确定
解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y2＝2px(p>0)或 1
x2＝2py(p>0)，将点(2,4)代入可得p＝4或p＝2，所以所求抛物线标准方程为 y2＝8x或x2＝y，故选C. 答案：C
5
2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝4x0， 则x0＝( ) A．1 C．4
B．2 D．8
15
解析：由题意知抛物线的准线为x＝－4.因为|AF|＝4x0，根据抛物线的定义可得15
x0＋4＝|AF|＝4x0，解得x0＝1，故选A. 答案：A
3．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离等于它到直线x＋4＝0的距离，则M点的轨迹方程是( ) A．x＋4＝0 C．y2＝8x
B．x－4＝0 D．y2＝16x
解析：根据抛物线定义可知，M点的轨迹是以F为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线，p＝8，
∴其轨迹方程为y2＝16x，故选D. 答案：D
x2y22
4．已知双曲线C1：b>0)的离心率为2.若抛物线Cx＝2py(p>0)2：2－2＝1(a>0，ab
1
的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( ) 83
A．x2＝3y C．x2＝8y
163
B．x2＝3y D．x2＝16y
p?bb?
解析：抛物线的焦点?0，2?，双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝
aax， ??
p
|a×2|
即bx－ay＝0，焦点到渐近线的距离为
a2＋b2
＝2，即ap＝4a2＋b2＝4c，
cpccp
所以a＝4，双曲线的离心率为a＝2，所以a＝4＝2，所以p＝8，所以抛物线方 程为x2＝16y.故选D. 答案：D
5．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( ) |BF|－1A. |AF|－1|BF|＋1C. |AF|＋1
|BF|2－1B. |AF|2－1|BF|2＋1D. |AF|2＋1
解析：由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，|BC|
C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于|AC|.由抛物线方程知焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x＝－1.∵点A，B
在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，
|BC||BM||BF|－1
得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴|AC|＝|AN|＝.
|AF|－1答案：A
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为
2
________．
p
解析：依题意得，直线x＝－2与圆(x－3)2＋y2＝16相切，因此圆心(3,0)到直线xpp
＝－2的距离等于半径4，于是有3＋2＝4，即p＝2. 答案：2
7．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，定点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________． ?p?
解析：抛物线的焦点F的坐标为?2，0?，
???p?
线段FA的中点B的坐标为?4，1?，
??p
代入抛物线方程得1＝2p×4，
?2?
解得p＝2，故点B的坐标为?，1?，
?4?2232
故点B到该抛物线准线的距离为4＋2＝4. 32答案：4 8．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是________．
解析：设Q(x0，±2x0)(x0≥0)， 则|PQ|＝
?x0－a?2＋4x0≥|a|对?x0≥0恒成立，
即(x0－a)2＋4x0≥a2对?x≥0恒成立．
2化简得x0＋(4－2a)x0≥0.
当4－2a≥0时，对?x0≥0，x20＋(4－2a)x0≥0恒成立，此时a≤2； 当4－2a＜0时，0＜x0＜2a－4时不合题意． 答案：(－∞，2]
9．已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线
3
l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．
解析：如图，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K，PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q，则|KQ|＝1， ∴|PQ|＝r＋1， 又|AP|＝r＋1. ∴|AP|＝|PQ|.
故点P到圆心A(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等． ∴点P的轨迹为抛物线，A(－2,0)为焦点． 直线x＝2为准线． p
∴2＝2.∴p＝4.
∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.
10.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，
若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到整数位)
解析：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－1
2py(p>0)，依题意有P(－1，－1)，在此抛物线上，代入得p＝2， 故得抛物线方程为x2＝－y. 又因为B点在抛物线上， 将B(x，－2)代入抛物线方程 得x＝2，即|AB|＝2，
则水池半径应为|AB|＋1＝2＋1，
因此所求水池的直径为2(1＋2)，约为5 m，
4
即水池的直径至少应设计为5 m.
[B组 能力提升]
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( ) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
ppp解析：|FP1|＝x1＋2，|FP2|＝x2＋2，|FP3|＝x3＋2， ∵2x2＝x1＋x3， ∴2|FP2|＝|FP1|＋| FP3|. 答案：C
2．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于( ) A．22 B．23 C．4 D．25 解析：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)， p?p?
，0??则焦点坐标为2，准线方程为x＝－2， ??
p
∵M在抛物线上，∴M到焦点的距离等于到准线的距离，即2＋2＝3，p＝2，抛物线方程为y2＝4x，
2
∵M(2，y0)在抛物线上，∴y0＝8，
∴|OM|＝答案：B
2
22＋y0＝22＋8＝23. 3．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线 x22
a－y＝1的左顶点为A.若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于________．
5
解析：由抛物线定义知1＋p
2＝5，∴p＝8， ∴抛物线方程为y2＝16x，∴m2＝16， ∴m＝4，即M(1,4)，
又∵A(－a，0)，双曲线渐近线方程为y＝±1
a x，
由题意知41＋a＝1a，∴a＝1
9.
答案：1
9
4．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为
a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则b
a＝________.
解析：∵正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b，O为AD的中点，
∴C??a?2，－a???a??，F??2＋b，b??
. 又∵点C，F在抛物线y2＝2px(p＞0)上，
?a2＝pa，∴??b2
＝2p??a?2＋b???
，
解得b
a＝2＋1.
答案：2＋1
5．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点． (1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于10时，求k的值．
解析：(1)证明：设A(－y21，y1)，B(－y2
2，y2)． 则y1＝k(－y21＋1)，y2＝k(－y22＋1)， 消去k得y1(1－y22)＝y2(1－y21)．
6
∴(y2－y1)＝y1y2(y1－y2)， 又y1≠y2，∴y1y2＝－1，
→·→＝yy＋y2y2＝yy(1＋yy)＝0， ∴OAOB12121212∴OA⊥OB.
1
(2)S△OAB＝2×1×|y2－y1|，
2??y＝－x，由?得ky2＋y－k＝0， ??y＝k?x＋1?，
11∴S△OAB＝2×1×|y2－y1|＝21∴k＝±6. 1
k2＋4＝10，
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)．试问：
(1)在抛物线上是否存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等？
(2)在抛物线上是否存在点P，使得点P到x轴的距离与点P到准线的距离相等？ 解析：(1)假设在抛物线上存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等．
那么根据抛物线定义，得点P到准线的距离与点P到y轴的距离相等，这显然是不可能的．
所以在抛物线上不存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等．
(2)假设在抛物线上存在点P，使得点P到x轴的距离与点P到准线的距离相等，则由抛物线定义，得点P到x轴的距离与点P到焦点的距离相等． 这样的点是存在的，有两个，即当PF与x轴垂直时，满足条件.
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高中数学人教A版选修2-1优化练习：第二章 2.4 2.4.1 抛物线及其标准方程 Word版含解析
