预测SARS疫情影响旅游人数的数学模型

预测SARS疫情影响旅游人数的数学模型

作者：郭争昊 戴依墨

来源：《新校园·中旬刊》2015年第11期

摘 要：本文通過对给出的统计数据建立相应的数学模型，揭示了SARS对北京市旅游业造成的巨大影响，同时也预测了这种影响何时将会完全消除。 关键词：季节趋势;预测;数学模型;季节指数

在2003年全国大学生数学建模竞赛A题第（3）小题中，要求根据北京市1997年1月至2003年8月的北京市接待的海外旅游人数，建立相应的数学模型，预测SARS疫情对北京市旅游人数造成的影响。本文根据所提供的数据的特点，采用平均趋势整理法，仅从来京旅游的海外人数的变化上，分析了SARS对北京市旅游业造成的巨大影响，同时根据给出的数据也估计出了北京市旅游业何时将彻底摆脱SARS造成的影响，使得来京旅游的海外人数将趋于正常。 一、问题的提出

根据上表给出的数据，建立相应的数学模型并进行预测。分析SARS对北京市旅游业造成的影响以及北京市的旅游业何时将趋于正常。

二、问题的分析

从表1给出的数据可以看出，1997～2002年的数据明显呈周期性的变化规律，其中周期为一年，且在不同年份的相同月份，来京旅游的海外人数是呈稳定增长趋势的。根据数据的这些特点，我们将建立平均数趋势整理法，结合1997～2002年给出的数据，预测2003年1～8月份来冰旅游的海外人数，同时跟实际人数比较，通过这几个月来京旅游的海外人数的变化，可大概得出SARS对北京市旅游业造成的影响。另外，由表1中2003年1～8月份的数据可看出，前三个月的数据基本是正常的，因此它们不受SARS的影响。从四月份开始，数据的变化明显是受SARS的影响，并且这些数据的变化规律明显呈二次曲线的变化趋势，故我们对这些数据建立它的二次曲线预测模型，来估计2003年哪个月份来京旅游的海外人数将趋于正常水平，摆脱SARS的影响。 三、模型的建立 1.趋势季节预测模型

我们使用平均数趋势整理法来建立预测模型。所谓平均数趋势整理法是先对历史资料中各年同月或同季的数据求出平均数，再利用所求出的平均数，消除其中的趋势成分，求出季节指数，最后建立趋势季节模型进行预测的方法。

以下我们用N表示年份数（即周期数），y1，y2，…yt-1，yt表示表1中1997～2003年各月份的数据，即时间序列，其中12N。 （1）求各年份同月平均数

我们以ri表示各年份第i个月的同月平均数，则有 （2）求各年份的月平均数

我们以Yj表示第j（j=1，2…，N）年的月平均数，则有 （3）建立趋势直线模型，求各趋势值

首先根据各年的月平均数，建立年趋势直线模型：T=a+bt

（t以年为单位）。可用最小二乘法来估计其中参数a，b，并取序列{Yj}的中点年作为时间原点（若N为偶数，则取年作为时间原点）。

然后我们再将此模型转化为原点年的月趋势直线模型：=a0+b0t（t以月为单位），式中a0=a+ ，b0= 。它们分别为新原点的月趋势值和每月的增量，利用此月趋势直线模型便可求得原点年份各月份的趋势值，设分别为：1，2，…，12。 （4）求季节指数

我们先计算同月平均数与原点年该月的趋势值的比值，以fi（i=1，2，3，…，12）表示。再消除数据的随机干扰，经修正后便可得到季节指数Fi（i=1，2，…，12）。 fi= （i=1，2，…，12）

Fi=fi·θ （i=1，2，…，12. θ为修正系数）。 （5）计算预测值

首先我们用月趋势直线模型来求月份的趋势值：t=a0+b0t;其次，建立趋势季节预测模型：=（a0+b0i）Fi

（i=1，2，…，12），利用此预测模型便可求得各预测值。 2.二次抛物线预测模型

从表1给出的2003年4月份至8月份的数据可以看出，由于受到SARS的影响，它明显呈先减速后增的趋势，具有抛物线的性质，因此我们对其建立二次抛物线模型，来预测2003年8月份以后各月份海外来京旅游人数。二次抛物线预测模型为yt=a+bt+ct2，其中a，b，c为参数，t为时间变量，表示月份。同样，我们可以用最小二乘法来估计式中的参数a，b，c。 四、问题的求解

1.趋势季节预测模型的求解

根据表1给出的数据，我们可分别求出趋势季节预测模型中的各值，结果如以下表2所示：

表2 趋势季节模型各月趋势值、季节指数计算表 月份

年份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月平均数

1997 9.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.6 19.1