2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
1.教材分析:
平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算,也是高中数学的一个重要概念,在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念,学生体会类比的思想方法,进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象,又是研究性质和运算律的基础。 2.学情分析:
学生在学习本节内容之前,已熟知了实数的运算体系,掌握了向量的概念及其线性运算,具备了功等物理知识,但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解。一方面,相对于线性运算而言,数量积的结果发生了本质的变化,两个有形有数的向量经过数量积运算后,形却消失了,学生对这一点是较难接受的;另一方面,由于受实数乘法运算的影响,也会造成学生对数量积理解上的偏差,特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点仍是数量积的概念。 二、教学目标 1.知识与技能:
掌握平面向量的数量积的定义、运算律及其物理意义。 2.过程与方法:
通过向量数量积分配律的学习,体会类比,猜想,证明的探索式学习方法。 3.情感、态度与价值观:
通过本节探究性学习,让学生尝试数学研究的过程。 三、 教学重点、 难点 重点:平面向量数量积的定义
难点:平面向量数量积的定义及平面向量数量积的定义的应用。 五、教学过程
一、情景导入、引出新课
1、提出问题1:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么 ?
期望学生回答:向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2:请同学们继续回忆,我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按
照怎样的顺序研究了这种运算的?
期望学生回答:物理模型→概念→性质→运算律→应用
3、新课引入:本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算:平面向量数量积的物理背景及其含义 二、合作探究,精讲点拨 探究一:数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3:
(1)如图所示,一物体在力F的作用下产生位移S, 那么力F所做的功:W= |F| |S| cosα。
(2)这个公式的有什么特点?请完成下列填空: ①W(功)是 量, ②F(力)是 量, ③S(位移)是 量, ④α是 。
(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
期望学生回答:功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 2、明晰数量积的定义 (1) 数量积的定义:
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为?,我们把数量 ︱a︱·︱bb︱cos?叫做
α S F a与b的数量积(或内积),记作:a·b,即:a·b= ︱a︱·︱b︱cos?
(2)定义说明:
①记法“a·b”中间的“· ”不可以省略,也不可以用“? ”代替。 ② “规定”:零向量与任何向量的数量积为零。
(3)提出问题4:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小的因素有哪些?
期望学生回答:线性运算的结果是向量,而数量积的结果则是数,这个数值的大小不仅和向量a与b的模有关,还和它们的夹角有关。
(4)学生讨论,并完成下表:
?的范围 a·b的符号 0°≤?<90° ?=90° 0°≤180° (5)探究题组一 :已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与
b的夹角是60°时,分别求a·b.
b评述: 两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°,180°],因此,当a∥
时,有0°或180°两种可能. 探究二:研究数量积的几何意义 1.给出向量投影的概念:
如图,我们把│b│cos?(│a│cos?) 叫做向量b在a方向上(a在b方向上)的投影, 记做:OB1=︱│b│︱cos?
注:投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当
?为直角时投影为0;当? = 0?时投影为 |b|;当? = 180?时投影为 ?|b|.
2.提出问题5:数量积的几何意义是什么?
期望学生回答:数量积a·b等于a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影 ︱b︱cos? 的乘积。
探究三:探究数量积的运算性质 1、数量积的性质
性质:若a和b均为非零向量
(1)a⊥b?a·b=0 (垂直) (2)a与b同向时,a·b =︱a︱·︱b︱,a与b 反向 时,a·b =-︱a︱·︱b︱
特别地:a·a=︱a︱2 =a?a (长度)
(3)cosθ=
a?b(夹角) a?b(4)︱a·b︱ ≤︱a︱·︱b︱(注意等号成立的条件) 例1已知: |a|=5,|b|=4,〈a,b〉=120,求a·b。 课堂小结:1、本节课我们学习的主要内容是什么?
0
2、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究?在运算律的探究过程中,渗透了哪些数学思想?
1、 作业:下列命题中
????? (1)若a?0,则对任意向量b有a?b?0
????? (2)若a?0,则对任一个非零向量b,有a?b?0
????? (3)若a?0,a?b?0,则b?0
????? (4)若a?b?0,则a,b中至少有一个为0
???????? (5)若a?0,a?b=a?c,则b=c
??????若a?b?a?c,则b?c,当且仅当a?0时成立 (6)
其中真命题的个数有
人教B版高中数学必修四《第二章 平面向量 2.4 向量的应用 2.4.2 向量在物理中的应用》_1
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