2．4．1平面向量数量积的物理背景及其含义
1.教材分析：
平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。 2.学情分析：
学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解。一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是较难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点仍是数量积的概念。 二、教学目标 1.知识与技能：
掌握平面向量的数量积的定义、运算律及其物理意义。 2.过程与方法：
通过向量数量积分配律的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法。 3.情感、态度与价值观：
通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。 三、 教学重点、 难点 重点：平面向量数量积的定义
难点：平面向量数量积的定义及平面向量数量积的定义的应用。 五、教学过程
一、情景导入、引出新课
1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么 ？
期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按
照怎样的顺序研究了这种运算的？
期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用
3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义 二、合作探究，精讲点拨 探究一：数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3：
（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S， 那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空： ①W（功）是 量， ②F（力）是 量， ③S（位移）是 量， ④α是 。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 2、明晰数量积的定义 （1） 数量积的定义：
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，我们把数量 ︱a︱·︱bb︱cos?叫做
α S F a与b的数量积（或内积），记作：a·b，即：a·b= ︱a︱·︱b︱cos?
（2）定义说明：
①记法“a·b”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“? ”代替。 ② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量a与b的模有关，还和它们的夹角有关。
（4）学生讨论，并完成下表：
?的范围 a·b的符号 0°≤?<90° ?=90° 0°
b的夹角是60°时，分别求a·b.
b评述： 两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a∥
时，有0°或180°两种可能. 探究二：研究数量积的几何意义 1.给出向量投影的概念：
如图，我们把│b│cos?（│a│cos?） 叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影， 记做：OB1=︱│b│︱cos?
注：投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当
?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 |b|；当? = 180?时投影为 ?|b|.
2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？
期望学生回答：数量积a·b等于a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影 ︱b︱cos? 的乘积。
探究三：探究数量积的运算性质 1、数量积的性质
性质：若ａ和ｂ均为非零向量
（1）ａ⊥ｂ?ａ·ｂ＝0 （垂直） （2）ａ与ｂ同向时，ａ·ｂ =︱ａ︱·︱ｂ︱，ａ与ｂ 反向 时，ａ·ｂ =-︱ａ︱·︱ｂ︱
特别地：ａ·ａ=︱ａ︱2 =a?a （长度）
（3）cosθ=
a?b（夹角） a?b（4）︱ａ·ｂ︱ ≤︱ａ︱·︱ｂ︱（注意等号成立的条件） 例1已知： |a|=5，|b|=4，〈a，b〉=120，求a·b。 课堂小结：1、本节课我们学习的主要内容是什么？
0
2、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？
1、 作业：下列命题中
????? （1）若a?0,则对任意向量b有a?b?0
????? （2）若a?0,则对任一个非零向量b，有a?b?0
????? （3）若a?0,a?b?0,则b?0
????? （4）若a?b?0,则a,b中至少有一个为0
???????? （5）若ａ?０，ａ?ｂ＝ａ?ｃ，则ｂ＝ｃ
??????若a?b?a?c,则b?c,当且仅当a?0时成立 （6）
其中真命题的个数有
人教B版高中数学必修四《第二章 平面向量 2.4 向量的应用 2.4.2 向量在物理中的应用》_1
