一．基本原理
1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
m列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为An.
1.公式：1.2.
mAn?n?n?1??n?2?……?n?m?1??n!
?n?m?!
规定：0!?1
(1)n!?n?(n?1)!,(n?1)?n!?(n?1)!(3)
nn?1?1n?1111 ?????(n?1)!(n?1)!(n?1)!(n?1)!n!(n?1)!mn
(2) n?n!?[(n?1)?1]?n!?(n?1)?n!?n!?(n?1)!?n!；
三．组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
n?n?1?……?n?m?1?Amn!n 1. 公式： C???m!m!?n?m?!Amm 2.组合数性质： Cn①若Cn1m 规定：Cn0?1
mn?mmm?1m01nn?Cn，Cn?Cn?Cn?1，Cn?Cn?……?Cn?2
；②；③；④
rrr?1rrrrr?1rrrr?1注：Crr?Crr?1?Crr?2?LCn?1?Cn?Cr?1?Cr?1?Cr?2?LCn?1?Cn?Cr?2?Cr?2?LCn?1?Cn?Cn?1
m2?Cn则m1=m2或m1+m2?n
四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法；
②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。
（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，
又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题：
（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法：
对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相
邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 （5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插
解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。
解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法； （6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略
对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。 （7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 （8）．数字问题（组成无重复数字的整数）
① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数； ③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。
4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3．分组问题：
均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。
混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4．分配问题：
定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。
随机分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。 5．隔板法： 不可分辨的球即相同元素分组问题
例1.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.
2424
解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A2种；中间4个为不同的商业广告有A4种，从而应当填 A2·A4＝48. 从而应填48． 例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？ 解一：间接法：即
6554A6?A5?A5?A4?720?2?120?24?504
解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类.
(1) 甲排在最右端时,有共有
114A55种排法； (2) 甲不排在最右端（甲不排在最左端）时，则甲有A4种排法，乙有A4种排法，其他人有A4种排法，
1111A4A4A44种排法，分类相加得共有A55+A4A4A44=504种排法
例.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？
分析一：先在7个位置上任取4个位置排男生，有A7种排法.剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有1种排法，故共有A7·1=840种.
1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有 解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有C9333?C4?C5?70种,选.C 2112?C5C4?70台,选C.
44解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有C5C42．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛（1）如果4人中男生和女生各选2人，有 种选法； （2）如果男生中的甲与女生中的
乙必须在内，有 种选法； （3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有 种选法； （4）如果4人中必须既有男生又有女生，有 种选法 分析：本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异，所以是组合问题. 解：（1）先从男生中选2人，有C5种选法，再从女生中选2人，有C4种选法，所以共有C5C4=60（种）； （2）除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有C2C7=21（种）； （3）在9人选4人的选法中，把甲和乙都不在内的去掉，得到符合条件的选法数：C94222222?C74=91（种）；
4?C54?C4=120（种）.
131322332直接法，则可分为3类：只含甲；只含乙；同时含甲和乙，得到符合条件的方法数C1=91（种）. C7?C1C7?C2C7?C7?C7?C7（4）在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数C9直接法：分别按照含男生1、2、3人分类，得到符合条件的选法为C5C4134231?C52C4?C5C4=120（种）.
1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )
A．40 B．50 C．60 D．70
C6
[解析] 先分组再排列，一组2人一组4人有C＝15种不同的分法；两组各3人共有2＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选
A2
B.
2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种
32
[解析] 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A3A4＝72种排法，故选C. 3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )
A．6个 B．9个 C．18个 D．36个
1
[解析] 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C3＝3(种)选法，即1231,1232,1233，
22
而每种选择有A2×C3＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．
4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )
A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人
21
[解析] 设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得CnC8－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．
5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )
A．45种 B．36种 C．28种 D．25种
2
[解析] 因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C8＝28种走法．
6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( )
A．24种 B．36种 C．38种 D．108种
[解析] 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组
112
1人另一组2人，共有C3种分法，然后再分到两部门去共有C3A2种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个
1121
部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C3种方法，由分步乘法计数原理共有2C3A2C3＝36(种)．
7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )
A．33 B．34 C．35 D．36
13
[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C2·A3＝12个；
133
②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C2·A3＋A3＝18个；
1
③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C3＝3个． 故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.
8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A．72 B．96 C．108 D．144
212233
[解析] 分两类：若1与3相邻，有A2·C3A2A3＝72(个)，若1与3不相邻有A3·A3＝36(个) 故共有72＋36＝108个． 9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( )
A．50种 B．60种 C．120种 D．210种
1
[解析] 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C6，然后
212
在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A5种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C6·A5＝120种，故选C. 10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)
25
[解析] 先安排甲、乙两人在后5天值班，有A5＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A5＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排
26
3
方法．
11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)
423
[解析] 由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C9·C5·C3＝1260(种)排法． 12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．
22C6C44
[解析] 先将6名志愿者分为4组，共有2种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A4种分法，故所有分配
A2
22C6·C44
方案有：2·A4＝1 080种．
A2
13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．
[解析] 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．
14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种
【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.
15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有
A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种 解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有2?214A2A4A4种方法
24113(A4?A3A3A3)种方法
甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有4A2故共有1008种不同的排法
排列组合 二项式定理
1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法
（每一种都可以独立的完成这个事情）
分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列
排列定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 排列数定义；从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有排列的个数Am n公式 Am=n3，组合
组合定义 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
组合数 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合个数 Cn
mn! 规定0！=1 (n?m)!Cn=
m
n!
m!(n?m)!mn?mmmm?1性质 Cn=Cn Cn?1?Cn?Cn
排列组合题型总结 一． 直接法
1 .特殊元素法
例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择
2A52，其余2位有四个可供选择A42，由乘法原理：A52A4=240
2．特殊位置法
（2）当1在千位时余下三位有有192+60=252 二 间接法
当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法
32A64?2A5?A4=252
112112A53=60，1不在千位时，千位有A4种选法，个位有A4种，余下的有A4，共有A4A4A4=192所以总共
Eg 有五张卡片，它的正反面分别写
0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一
起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
332?23?A3?22?A22个，这是不 分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数C5个，其中0在百位的有C4332?23?A3?22?A22=432 合题意的。故共可组成不同的三位数C5-C4
Eg 三个女生和五个男生排成一排
（1） 女生必须全排在一起 有多少种排法（ 捆绑法） （2） 女生必须全分开 （插空法 须排的元素必须相邻） （3） 两端不能排女生 （4） 两端不能全排女生
（5） 如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法
二． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？ 分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有三． 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（C423A3）
11A9?A10=100中插入方法。
,2，某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（C29其余的就是19所学校选28天进行排列）
四． 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法
例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。
分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有C11种
7
1119?A28）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有C29
五 平均分推问题
eg 6本不同的书按一下方式处理，各有几种分发？
（1） 平均分成三堆， （2） 平均分给甲乙丙三人
（3） 一堆一本，一堆两本，一对三本
（4） 甲得一本，乙得两本，丙得三本（一种分组对应一种方案） （5） 一人的一本，一人的两本，一人的三本
分析：1，分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有A33=6种，而这6种分法只算一种分
222C6C4C2堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种 3A32，六本不同的书，平均分成三堆有x种，平均分给甲乙丙三人
就有xA3种 C6C4C2 3， C6C5C3 5，A3C6C5C3
五． 合并单元格解决染色问题
Eg 如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。
分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5． 下面分情况讨论:
(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素 ①③⑤的全排列数
2,432221233123A
44 （ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得
A 种着色法．
44（ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格 ①
2,4 3,5从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有 由加法原理知：不同着色方法共有2
4C4?A3种方法．
3333A4?C4A3=48+24=72（种）
1 2 3 4 5 练习1（天津卷（文））将3种作物种植
在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ， 不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）
2．某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）．（120）
图3 图4
3．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）
4．如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）
625134BACDE41
2
3
ABCED图5 图6
5．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种（420）
高中排列组合知识点汇总及典型例题（全）24855
