三、解答题
（15）(本题满分10分）求函数f(x)??(x?t)edt的单调区间与极值1x22?t2
解:
f(x)??(x?t)edt?x1x22x22?t22?x21edt??te?tdt，
1?t2x22?t令f?(x)?2x?edt?0，得x??1,x?0,x?1。
1f??(x)?2?e?tdt?4x2e?x，
1x224因为f??(?1)?14?t2??f(0)??2edt?0， ?0，?0e所以x??1,x?1为f(x)的极小点，极小值为f(?1)?0，x?0为f(x)的极大点，极大值为f(0)?11?t2tedt?(1?)。 ?02e1f(x)在(??,?1]及[0,1]上单调减少，f(x)在[?1,0]及[1,??)上单调增加。
（16）(本题满分10分）(I)比较?lnt?ln(1?t)?dt与?tnlntdt(n?1,2,）的到小，并说明理由
001n1(II)记un??lnt?ln(1?t)?dt(n?1,2,）,求极限limun0n??1n解:
（I）因为当0?t?1时，ln(1?t)?t，
nn所以|lnt|[ln(1?t)]?t|lnt|，于是?|lnt|[ln(1?t)]dt??t|lnt|dt。
nn1100（II）因为0?1nnn|lnt|[ln(1?t)]dt?t??|lnt|dt， 00111111n?1n?11而?t|lnt|dt??lntd(t)??[tlnt|0??tndt] ?00n?10n?1??1n?11tlnt|1?， 0n?1(n?1)2t?n?1因为limtt?01lnt??lim1x11lnxnt|lnt|dt??0，所以， ?0x???xn?1(n?1)2故0?n?|lnt|[ln(1?t)]dt?01，
(n?1)2由夹逼定理得limun?limn??n??0n|lnt|[ln(1?t)]dt?0。 ?1
解：根据题意得dydydt???t? ??,dxdx2t?2dt???t?d()????t?(2t?2)?2???t?2t?22dy3(2t?2)2dt???dxdx22t?24(1?t)dt因????t?(2t?2)?2???t??6?t?1?22整理有????t?(t?1)????t??3?t?1?
???t?????t??3?t?1?????t?1解????1??5，???1??6??2令u???t?,即u??1u?3(1?t)t?111dt???dt??所以u?et?1??3(1?t)et?1dt?C???1?t?(3t?C)
??又因为u(1)????1??6,故C?0,所以???t??3t(t?1)3故??t???3t(t?1)dt?t3?t2?C1253有由??1??，?C1?0，???t??t3?t222
(18)(本题满分10分）一个高为1的圆柱形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆，现将贮油罐 3平放，当油罐中油面高度为b时候，计算油的质量（长度单位为m,质量单位为2kg,油的密度为常数?kg/m3）解：油的质量为M??v，其中油的体积为V?S底?h高?又S底?S椭圆?S1??ab?2??dxdyS12b?S底3??ab?2???ab?2?3a203a2dx??bb1?x2a2dy20?x2b???b1?2??dx?a2???x231?2dx?b?aa2
??ab?2b?3a203a3x2x2??ab?ab?2ab??1?2d02aa3x11?1???ab?ab?2ab?arcsin?x?1?x2?2a2a?2???ab???33?23ab?2ab????ab?ab???24?68?33a20?23?33322故M?S?h?????ab?ab?????ab??ab???3?48??2b
（19）（本题满分11分）?2u?2u?2u 设函数u?f(x,y)具有二阶连续导函数，且满足等式42?12?52?0，?x?x?y?y?2u确定a,b的值，使等式在变换??x?ay,??x?by下化简为?0????解：?u?u??x???u?u??y?????u???u?u????x???x???????u???u?u??a?b?y???y????
?2u??u?u?2u???2u???2u???2u???(?)?2??2?2?x?x???????x?????x???x?????x?2u?2u?2u?2?2?2????????
2019年整理[版]10年考研政治英语数学真题及精析（下）
