考研数学高数知识点
连续的定义
1.定义
设y=f（x）在x0附近有定义，自变量的增量，引起，
2.函数的连续性
，若，则称f（x）在x=x0点连续.
·y=f（x）在（a,b）内连续 ·y=f（x）在[a,b]内连续连续。
1.四则运算法则
f（x）在（a,b）内的任意点连续。
f（x）在（a,b）内的任意点连续，且在a点右连续，b点左
定理（以函数极限为例）：设
，则
2.两个重要极限
A.
B..
（1）单调有界数列必有极限准则
如果数列{xn}满足条件x1≤x2≤x3≤…xn≤xn+1 ≤…，就称数列{xn}是单调增加的；如果数列{xn}满足条件x1≥x 2≥x3≥…xn≥xn+1 ≥…，就称数列{xn}是单调减少的.单调增加和单调减少的数列统称为单调数列. 单调有界数列必 有极限.
（2）夹逼准则
如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件：xn≤yn≤zn （n=1,2,3﹍）， 且
（1）唯一性
那么数列的极限存在，且.
函数极限，则A是唯一的确定的常数； （2）有界性
（局部有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界； （3）函数极限的局部保号性
定理1（已知极限的符号判断函数的符号）如果，而且A＞0（或A＜0），
那么就存在着点x0的某一去心邻域，当在该邻域内时，就有f（x）＞0（或f（x）＜0）. 备注：如果
（
），那么就存在着x0的某一去心邻域
，当
时，就有.
（已知函数的符号判断极限的符号）如果在x0的某一去心邻域内f（x）≥0（或f（x）≤0），而且
，那么A≥0（或A≤0）
（1）数列的极限（ε-N语言）
（自然数），使得当n＞N时，|xn-A|＜ε
极限存在时称为数列是收敛的，极限不存在时称数列是发散的.
（2）函数的极限
·当x→∞时函数的（双侧）极限（ε-N语言）
，
使得当|x|＞X时，|f（x）-A|＜ε.
·当x→x0时函数的（双侧）极限（ε-δ语言）
（3）函数的单侧极限
x→+∞（x→-∞）时函数的极限
使得当x＞X时，|f（x）-A|＜ε.
，
使得当0＜|x-x0|＜δ时，|f（x）-A|＜ε.
·当
使得当x＞-X时，|f（x）-A|＜ε.
时函数的极限
使得当使得当
时，时，
. .
闭区间连续函数的性质
(1)(最值定理)闭区间上的连续函数必取得最大值，最小值。
(2)(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点，使得
.
(3)(零点定理)闭区间上的连续函数如果两个端点函数值异号，则至少存在一点的函数值为0.
(4)(有界性)闭区间上的连续函数在该闭区间上必有界。
(1)间断点的定义
由在x0连续的等价定义易知：f(x)在x=x0点连续
间断点就是不连续的点，按上面的分析知间断点上述三条至少有一条不满足. (2)间断点的分类
第一类间断点：x0是f(x)的间断点，如果的第一类间断点.
①若f(x0+0)= f(x0-0)≠f(x0)则称x0是f(x)的可去间断点 ②若f(x0+0)≠f(x0-0)则称x0是f(x)的跳跃间断点
存在，则称x0是f(x)
第二类间断点：若f(x0+), f(x0-)至少有一个不存在，则称x0是f(x)的第二类间断点.
分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的; 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 2、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
3、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 4、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
抽象函数：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数;
一般形式为y=f(x)，或许还附有定义域、值域等，如：y=f(x)，(x>0，y>0)。
1.奇偶性：
设函数
，称
为奇函数.
的定义域为
为偶函数；若对于任一
，若对于任一
，都有
，都有
，称
几何意义：奇（偶）函数图像关于原点（关于y轴）对称。考试重点：考研上奇偶性的重点是其在求导和积分中的应用。
2.周期性： 对函数内，且有
，若存在常数
称函数
，使得对定义域内的每一个为周期函数，
仍在定义域称为
的周期.
几何意义：周期函数的图像过一个周期重复一次。考试重点：考研上周期性的重点是其在求导和积分中的应用。
3.有界性 设函数
成立，称
几何意义：函数
在一个数集I上有定义，若存在正数M，使得对于每个
在I上有界；否则，即这样的M不存在，称有界，其的图形介于直线
，与
，都有在I上无界. 之间为有界。
考试重点：考研上有界性是一个难点，有界性涉及到高数中的极限，连续以及中值定理等内容。
4.单调性
单调性 设函数均有
几何意义：函数数
在区间I上有定义，若对于I上任意两点
，则称函数
与且时，
在区间I上单调增加（或单调减少）.
单增，自变量从小变到大的过程中，其的图形越来越高；函
单减，自变量从小变到大的过程中，其的图形越来越低。考试重点：利用导数
的符号判断函数的单调性。
1.定义(传统)：
如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
2.构成函数的三要素： 定义域，值域，对应法则。
值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。 3.对函数概念的理解： 函数三要素
(1)核心——对应法则等式y=f(x)表明，对于定义域中的任意x，在“对应法则f”的作用下，即可得到y.因此，f是使“对应”得以实现的方法和途径。是联系x与y的纽带，从而是函数的核心。对于比较简单的函数，对应法则可以用一个解析式来表示，但在不少较为复杂的问题中，函数的对应法则f也可以采用其他方式(如图表或图象等)。
(2)定义域定义域是自变量x的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数。 在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的。如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合。在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题。 (3)值域值域是全体函数值所组成的集合。在一般情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定。因此，判断两个函数是否相同，只要看其定义域与对应法则是否完全相同，若相同就是同一个函数，若定义域和对应法则中有一个不同，就不是同一个函数。
同一函数概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。 (4)关于函数符号y=f(x)
1°、y=f(x)即“y是x的函数”这句话的数学表示。仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”。f(x)也不一定是解析式。
2°、f(x)与f(a)的区别：f(x)是x的函数，在通常情况下，它是一个变量。f(a)表示自变量x=a时所得的函数值，它是一个常量即是一个数值。f(a)是f(x)的一个当x=a时的特殊值。
3°、如果两个函数的定义域和对应法则相同虽然表示自变量的与函数的字母不相同，那么它们仍然是同一个函数，但是如果定义域与对应法则中至少有一个不相同，那么它们就不是同一个函数。
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