Broyden族校正公式的另一种推导方法
柳 力1，柳 毅2
【摘 要】摘要：给出了Broyden族校正公式的另一种推导方法，从另一角度表现了Broyden族各校正公式之间的关系，证明了Hoshino校正公式是Broyden凸族中唯一自对偶校正公式. 【期刊名称】北华大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2011(012)003 【总页数】3
【关键词】非线性规划；变尺度法；Broyden族；校正公式 【文献来源】
https://www.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-cn_journal-beihua-university-
natural-science_thesis/0201247762274.html
1 Broyden族校正公式
考虑无约束优化问题 min f(x)，x∈n， (1.1)
其中f：n→1是连续可微函数.在求解(1.1)的算法中，变尺度算法是公认的比较有效的一类算法，而其中的Broyden[1-2]族是这类算法中最有代表性的.当记xk为迭代点，sk=xk+1-xk，yk=gk+1-gk，gk=▽f(xk)，则对H(目标函数的Hesse阵的逆近似)的Broyden族校正公式可以表为 (1.2) 其中：
Broyden族中包含了变尺度算法中最典型的几个校正公式：当θk=0时，由式
(1.2)得对H的DFP校正公式；当θk=1时，由式(1.2)得对H的BFGS校正公式；当时，由式(1.2)得对H的Hoshino校正公式，其中：
Broyden族校正公式(1.2)又可以表成DFP校正公式与BFGS校正公式的加权组合：
关于Broyden族校正公式的推导方法以及对B(目标函数的Hesse阵近似)的Broyden族校正公式等的详细论述可见文献[4-6].
2 校正公式的另一种推导方法
在下面的讨论中总假设曲率条件是满足的.设zk∈n，按如下形式构造校正公式： (2.1)
可以证明，只要适当选择zk，关于H的DFP、BFGS以及θk≥0时Broyden族的其他校正公式都可以由式(2.1)推出.为此首先给出下面引理：
引理2.1 对于选定的zk，当时，若Hk为对称正定矩阵，则由式(2.1)确定的Hk+1也是对称正定矩阵，并且满足拟牛顿条件Hk+1yk=sk.
证明 由已知条件，Hk+1显然是对阵矩阵.任取x∈n，当x≠0时，由式(2.1)有 (2.2)
若xTzk=0，则由x≠0及Hk正定，可推得式(2.2)右端第1项严格大于零，故此时xTHk+1x>0；若xTzk≠0，分两种情况：这时显然有xTHk+1x>0；则由已知条件可推得此时式(2.2)右端的第2项严格大于零，所以仍有xTHk+1x>0.所以,对任意x∈n，当x≠0时，都有xTHk+1x>0，故Hk+1是对称正定矩阵.而Hk+1满足拟牛顿条件是显然的. 利用上述引理可以证明以下结论：
定理2.1 若zk=sk，则式(2.1)是对H的BFGS公式；若zk=Hkyk，则式(2.1)
是对H的DFP公式.
定理2.2 若zk=αksk+βkHkyk，其中αk，βk∈，并且αk+βkτk≠0，则由式(2.1)定义的Hk+1对称正定，并且可以化成 (2.3) 其中：
校正公式(2.3)显然属于Broyden族.当αk，βk非负且不同时为零时，有θk∈[0，1]，这时式(2.3)对应的是Broyden凸族.由定理2.2易得： 推论2.1 若则式(2.1)是对H的Hoshino校正公式. 完全类似地，可以给出对B的Broyden族校正公式.记 (2.4)
可以证明：当zk=yk时，式(2.4)为对B的DFP公式；当zk=Bksk时，式(2.4)为对B的BFGS公式；当其中，并且时，式(2.4)即可化为 (2.5)
其中：而当θk和φk满足 或 (2.6)
时，由式(2.3)定义的Hk+1和由式(2.5)定义的Bk+1在可逆的条件下是互逆矩阵.
由定理2.2可以看出:对H的Broyden凸族中各校正公式的区别都源于式(2.1)中zk=αksk+βkHkyk系数αk和βk的不同取值.但可以证明：
定理2.3 若式(2.1)中zk=αksk+βkHkyk，并且αk+βkτk≠0，则在精确线搜索条件下，xk处的搜索方向为
Broyden族校正公式的另一种推导方法
