层次分析方法
问题1
某工厂在扩大企业自主权后，厂领导正在考虑如何合理地使用企业留成的利润。在决策时需要考虑的因素主要有 (1) 调动职工劳动生产积极性； (2) 提高职工文化水平； (3) 改善职工物质文化生活状况。
请你对这些因素的重要性进行排序，以供厂领导作参考。
分析和试探求解
这个问题涉及到多个因素的综合比较。由于不存在定量的指标，单凭个人的主观判断虽然可以比较两个因素的相对优劣，但往往很难给出一个比较客观的多因素优劣次序。为了解决这个问题，我们能不能把复杂的多因素综合比较问题转化为简单的两因素相对比较问题呢运筹学家想出了一个好办法：首先找出所有两两比较的结果，并且把它们定量化；然后再运用适当的数学方法从所有两两相对比较的结果之中求出多因素综合比较的结果。具体操作过程如下：
1) 进行两两相对比较，并把比较的结果定量化。
首先我们把各个因素标记为 B1：调动职工劳动生产积极性；B2：提高职工文化水平；B3：改善职工物质文化生活状况。根据心理学的研究，在进行定性的成对比较时，人们头脑中通常有5种明显的等级：相同、稍强、强、
明显强、绝对强。因此我们可以按照下表用1～9尺度来定量化。
定性结果 定量结果 Bi 与Bj 的影响相同 Bi 比Bj的影响稍强 Bi 比Bj的影响强 Bi 比Bj的影响明显强 Bi 比Bj的影响绝对强 Bi : Bj = 1:1 Bi : Bj = 3:1 Bi : Bj = 5:1 Bi : Bj = 7:1 Bi : Bj = 9:1 Bi 与Bj的影响在上述两个Bi : Bj = 等级之间 2,4,6,8:1 Bi 与Bj的影响和上述情况Bi : Bj = 相反 1:1,2,…,9 假定各因素重要性之间的相对关系为：B2 比B1的影响强，B3 比B1的影响稍强，B2 比B3的影响稍强，则两两相对比较的定量结果如下：
为了便于数学处理，我们通常把上面的结果写成如下矩阵形式，称为成对比较矩阵。
B1B2B3
B1B2B3?11/51/3??? 513???31/31???(1) 2) 综合排序
为了进行合理的综合排序，我们把各因素的重要性与物体的重量进行类比。设有n件物体：A1, A2, …, An ，它们的重量分别为：w1, w2, …, wn 。
若将它们两两相互比较重量，其比值(相对重量)可构成一个n×n成对比较矩阵
?a1,1a1,2?aa A??2,12,2?LL??a?n,1an,2LLLLa1,n??w1/w1?a2,n??w/w??21L??L??an,n???wn/w1w1/w2Lw2/w2LLLwn/w2Lw1/wn??w2/wn? (2) ?L?wn/wn?经过仔细观察，我们发现成对比较矩阵的各行之和恰好与重量向量 W = (w1,
w2, …, wn)T成正比，即
?w1???nw2?? ??M??j?1???wn??a1,j???a2,j?? ?M???a???n,j?(3)
根据类比性，我们猜想因素的重要性向量与成对比较矩阵(1)之间也有同样的关系存在。由此，我们可以得到因素的重要性向量为
?w1??1??1/5??1/3??23/15??????????w?5?1?3?9 W??2?????????? ?w??3??1/3??1??13/3??3?????????(4)
为了使用方便，我们可以适当地选择比例因子，使得各因素重要性的数值之和为1 (这个过程称为归一化，归一化后因素重要性的数值称为权重，重要性向量称为权重向量) ，这样就得到一个权重向量
?w1??0.103????w?0.606 W??2???? ?w??0.291??3???(5)
上式中元素的权重大小给出了各因素重要性的综合排序。 对(2)式的进一步分析还可以发现
?a1,1a1,2?a2,1a2,2? AW??LL??an,1an,2?LLLLa1,n??w1??w1????a2,n??w2????n?w2??nW (6)
?L?L??L??????an,n?w?wn???n?这说明W还是成对比较矩阵A的特征向量，对应的特征值为n，理论上已严格地证明了n是A的唯一最大特征值。按类比法，我们也可以用求解特征方程的办法来得到重要性向量。与(1)式对应的特征方程为
?11/51/3??w1??w1??????513w?n ????2??w2? ?31/31??w??w????3??3?(7)
由此可以解出其最大特征值为 n’=，对应的特征向量为：
W ’ = , , T (8) 一致性检验
既然存在误差，我们就需要知道误差的程度到底有多大会不会影响综合排序的结果理论上已经证明：对于具有一致性的成对比较矩阵，最大特征值为n；反之如果一个成对比较矩阵的最大特征值为n，则一定具有一致性。估计误差的存在破坏了一致性，必然导致特征向量及特征值也有偏差。我们用n’表示带有偏差的最大特征值，则n’与n之差的大小反映了不一致的程度。考虑到因素个数的影响，Saaty将 CI?n'?n n?1(9)
定义为一致性指标。当CI = 0时，成对比较矩阵A矩阵完全一致，否则就存在不一致；CI越大，不一致程度越大。为了确定不一致程度的允许范围，Saaty又定义了一个一致性比率CR，当
CR?CI/RI?0.1 (10)
时，认为其不一致性可以被接受，不会影响排序的定性结果。(10)式中R I值如下表所示
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 RI 0 0 应用上面的结果，我们可以算出成对比较矩阵(1)有 CI (11)
因此其不一致性可以被接受。 问题2
某工厂在扩大企业自主权后，厂领导正在考虑如何合理地使用企业留成的利润。可供选择的方案有：I、发奖金；II、扩建食堂、托儿所；III、开办职工技校；IV、建图书馆；V、引进新技术。在决策时需要考虑到调动职工劳动生产积极性，提高职工文化水平和改善职工物质文化生活状况等三个方面。请你对这些方案的优劣性进排序，以便厂领导作决策。 解答
=
，
CR =
层次分析法的详细步骤
