解析滑轮的转动
蔡厚贵
【摘 要】摘 要:在滑轮问题中，绳的张力并没有直接作用在滑轮上。分析定滑轮和动滑轮的转动，发现绳的张力是通过转化为摩擦力矩或支承力矩间接起作用的。并且在滑轮的转动中，摩擦力矩总是在发挥着作用。 【期刊名称】贵阳学院学报（自然科学版） 【年(卷),期】2011(006)003 【总页数】5
【关键词】关键词:滑轮;转动;摩擦力矩;支承力矩
0 引言
刚体力学中常会遇到滑轮问题。对滑轮转动原因的分析，早前的教材［1］等和目前的主流教材［2］－［8］均认为是绳的张力使滑轮产生转动。虽然按此观点分析得出的结果也正确，但在认识上却是不妥的。前述教材对此类问题的认识与处理，不能不说是一个小小的疏忽。其实，滑轮的转动主要是摩擦力矩而不是绳张力矩作用的结果。文献［9］指出了早前教材的错误，分析了定滑轮的情形，用分段累加的方法计算摩擦力矩解释了定滑轮的转动;文献［10］分析了组合定滑轮的转动，得出了绳中张力及最大摩擦力矩的表达式。本文将利用滑轮问题中绳张力的一般表达式，通过计算滑轮受到的力矩，对滑轮特别是动滑轮的转动作出分析与解释。
1 定滑轮的转动
如图1，轻绳跨过质量为M半径为R的定滑轮，下端分别挂质量为 m1和 m2的重物(m1＞m2)。滑轮除受到重力Mg、轴的支承力N'和部分绳的压力N外，
部分还受到绳的摩擦力(图中未画出)，正是这个摩擦力对过O的水平转轴的力矩，使滑轮沿逆时针方向加速转动。
如图2，在绳的部分取绳元dl，dl受到两端的张力 T(θ)和 T(θ+dθ)、摩擦力 df'和滑轮的支承力dN'。考虑最大静摩擦的情况，将这四个力分解到切向和法向有:
［T(θ +dθ)－T(θ)］cos(dθ/2)+df'=aτdm=0和［T(θ +dθ)+T(θ)］sin(dθ/2)－dN'=andm=0
令 dT=T(θ+dθ)－T(θ)，则上两式为
因 dθ 很小，cos(dθ/2)≈1，sin(dθ/2)≈(dθ/2)，T(θ +dθ)≈T(θ)=T，则 式中T为绳段内任意一点的张力，T1为绳A点张力，B点绳的张力为
滑轮在dl处受到的压力为dN=dN'=Tdθ，方向指向轮心O，对转轴不产生力矩。摩擦力df'=df'=μdN'对转轴的力矩为 故段的摩擦力矩为
由上式看到，作用在绳段两端的张力转化成摩擦力之和(T1－T2)，在摩擦力矩(T1－T2)R的作用下滑轮加速转动。对m1和m2易得 对滑轮有
其中为滑轮对转轴的转动惯量。将5)代入6)可得角加速度为
我们看到，由于只存在摩擦力矩，所以摩擦力矩是定滑轮转动唯一原因。由6)式看到，所谓的理想定滑轮只能是轻绳和滑轮质量为零，不包含摩擦系数μ=0，否则滑轮就不能转动，也就不成其为滑轮了。
2 动滑轮的转动
2.1 滑轮以速度V0匀速上升
如图3，把绳(滑轮)的段分成和两部分。部分的绳相对于滑轮有逆时针(向上)的转动趋势，滑轮相对于绳则有反方向的运动趋势。滑轮的部分受到向上的摩擦力，这一摩擦力使滑轮有逆时针转动的趋势;由于滑轮是刚体，其部分便相对于绳有向下的转动趋势，从而滑轮的部分受到向上的摩擦力。
分别在和上取绳元，可得段绳内的张力段绳的张力为由于张力在绳内的分布连续，在 θ1= θ2=即C点处，有 从而得T1=T2=T0。
绳元dl1对滑轮的支承力为 dN1=dN'1=在竖直方向的分量为dN1y=段绳对滑轮的支承力在竖直 方向的分量为
由于对称性，段绳对滑轮的支承力在竖直方向的分量为 所以段绳对滑轮的支承力为
滑轮受到绳元dl1的摩擦力为μdN1，则，所以 由于对称性，f2y=f1y，故 fy=f1y+f2y=，所以
这里，绳两端的张力2T0也是转化为支承力Ny和摩擦力fy后作用于滑轮上的。若滑轮下挂有质量为m的重物，则当滑轮匀速上升时，可得T0=即滑轮匀速上升时动滑轮亦省力一半
滑轮受到的合外力矩即总摩擦力矩为ΣMO=
根据质心系的转动定理βO=0，滑轮靠惯性绕轴作匀速转动，转动的角速度为ω=v0/R。
对瞬心A段的摩擦力矩为
因 θ1=2 θ'1，dθ1=2dθ'1，所以
解析滑轮的转动
