第十三讲 线段
趣题引路】
摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100km到C市吃午饭.由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400km，傍晚才停下来休息，司机说，再走C市到这里路程的一半就到达目的地.问A、B两市相距多少千米？
解析: 画出线段图进行分析.
如图13－1所示，设小镇为D点，傍晚在E点休息.
∵CE＝2EB, ∴CE＝
2BC. 312∵AD＝AC, ∴DC＝AC
33∵DC＋CE＝∴DE＝
22(BC＋AC)＝AB. 332AB，又DE＝400km. 3∴AB＝600km.
点评：线段图形比较直观，在实际问题中有着广泛的应用.同学们想一想，“计划上午比下午多走1100km”这个条件是必需的吗？如果把司机的话改成“再走C市到这里路程的 就到达目的地”，需要
3前面的条件吗？请同学们自己试完成解答.
知识延伸】
一、线段(直线)的计数
例1 如图13－2，两条平行线m、n上各有4个点和5个点.任选9个点中的两个作直线，则一共可以作________条直线.
解析: 直线m上的4个点每个点都可以与直线n上的5个点作出5条直线，所以共有4×5＝20条直线，再加上m、n两条，共22条.
点评：线段(直线)的计数和角的计数、三角形的计数问题一样，关键是确定一定的顺序，做到不重不漏.通常有按字母的顺序，按大小顺序，整体分析等计数方法.
()
二、中点的特征及其应用，线段的和、差、倍、分关系及其转化
例2．如图13-3，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点．已知图中所有线段的长度之和为23，求线段AC的长度，还能求出其他线段的长度吗？
ADCB图13-3
解析
D、C分别是AC、AB的中点，
?DC?AC??AB?AB．
11112224图中共6条线段，它们的长度之和为：
23?(AD?DC?BC)?(AC?BD)?AB =AB?(AB?CD)?AB ?13AB44?231?7,1313
17?AC?AB?3.213?AB?1074其他各条线段的长度可以求出，AD?DC?1,BC?AC?3,BD?5.
1313131AB， 2（2）一条线段往往需要将它转化成几条线段的和或差，再将其中的部分线段进行转化； （3）线段的相关计算往往可以引入方程的思想，使问题简便．
三、最小值问题
例3．如图13-4，某汽车公司所营运的公路AB段共有4个车站，依次为A、C、D、B，AC=CD=DB，现想在AB段建一个加油站M，要求使A、B、C、D站的各一辆汽车到加油站M所花费的总时间最少，试找出M的位置，AC=CD=DB这个条件是必需的吗？若有5个站呢？100个站呢？试找出规律．
点评：（1）C是线段AB的中点，则有AC?BC?ACDB图13-4
解析 若加油站M建在AC之间则有： 路程s=AB+CD+m>AB+CD
（其中m表示加油站M到C站的距离．）
若加油站M建在DB之间，同理，有s>AB+CD；
若加油站建在CD之间，包括C、D两点，则路程s=AB+CD． ∴ M点应在线段CD上
从上面的分析可知，AC=CD=DB这个条件是不必需的．根据上面的分析推理方法可知，若有偶数个站，则建在中间两站之间；若有奇数个站，则建在中间一个站处．
点评：直观地利用线段来分析代数问题是一种常用且有效的途径，数形结合的思想方法是解决数学问题以及实际问题的一种重要的思想方法，学习过程中要能大胆联想，如发现a2，有人能够联想到构造一个以a为边长的正方形，则a2就表示这个正方形的面积，从而将一个代数问题转化成直观的几何问题． ()
四、线段公理的应用
例4．如图13-5，在河边有两个村庄甲、乙，为了解决两村的用水问题，政府准备在河边修一个抽水站向两村供水．问如何选择抽水站的位置，才能使供水所用管道最短？
解析 两点之间线段最短，但连结甲、乙两点的线段与河没有交点，所以想到将甲或乙转化到河的另一边，但要保证路程不变，利用轴对称的性质可以实现这一目的．
甲乙甲乙图13-5乙'图13-5 图13-6
如图13-6所示，P点即是抽水站的最佳位置
例5．如图13-7所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短？
AAPDBB图13-7
图13-8
解析 虽然A、B两点在河两侧，但连结AB的线段不垂直于河岸．
如图13-8，关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的．
如图13-9，建立在PD处符合题意．
APDB图13-9
点评：两点之间线段最短，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．
好题妙解】
佳题新题品味
例 如图13-10，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们之间有网络相联，连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A． 19 B．20 C．24 D．26
()
3B5476612A6128图13-10
自己改变一些数字，再求一求．
解析 从上方走单位时间最终到达B点的只有7条信息；从下方走最终有12条信息全部能到达B点．
点评：注意下方虽然6+7=13，但前面单位时间内只能传6+6=12条信息来．所以，单位时间共有19条信息能到达B点，故选A．
中考真题欣赏
例（桂林市中考题）已知线段AB=4，AC=3，那么线段BC的长度的取值范围是 ．
解析 如图13-11，将线段AC绕着端点A进行旋转，易知C点在AB上时BC最短，且有BC=AB-AC=1；C点在BA的延长线上时，BC最长，且有BC=AC+AB=7，故有1 CACB图13-11 点评：利用运动的观念来研究几何问题是一种不错的方法． 竞赛样题展示 例（“五羊杯”赛题）如图13-12，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是AC的中点，P是线段NA的中点，Q是线段MA的中点，则MN:PO等于（ ） AQPMNBC图13-12 解析 ∵ P、Q分别是NA、MA的中点， ∴ AP= 11NA，AQ=MA， 2211（NM-MA）=MN 22∴ MN:PQ=2． 故选B． ∴ QP=AP-A0= 点评：利用中点的定义进行线段的转化，再利用线段的和、差、倍、分关系进一步转化来解决问题，同学们想一想，若把“M是线段AB的中点，N是线段AC的中点”这个条件去掉，能求出MN:PQ的值吗？由此你能得到什么结论？ () 过关检测】 A级 1．在同一平面内有4个点，过每两点画直线，直线的条数是（ ） A．1条 B．4条 C．6条 D．以上都有可能 2．乘火车从广州到上海，共有25个车站（包括广州和上海在内），那么共需准备 种不同的车票 3．如图13-13，已知B、C是线段AD上的两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN=a，BC=b，则线段AD= ． MMBCNDPCDAQENBA图13-13图13-14 4．如图13-14，C、D、E将线段AB分成4部分，且AC:CD:DE:EB=2：3：4：5，M、P、Q、N分别是线段AC、CD、DE、EB的中点，若MN=21，则PQ的长是 ． 5．线段AB上有P、Q两点，AB=26，AP=14，PQ=11，那么BQ= ． 6．如图13-15，公路上依次有A、B、C三站，上午8时，甲骑自行车从A、B之间离A站18km的P点出发，向C站匀速前进，15min到达离A站22km处． （1）设xh后，甲离A站ykm，用含x的代数式表示y得：y= ． （2）若A、B和B、C间的距离分别是30km 和20km，则上午 到 的时间内，甲在B、C两站之间（不包括B、C两站）． APBC图13-15 B级 1．平面内有n条直线（n≥2），这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（ ） n2?nn2?n?2A． n(n?1) B． n?n?1 C． D． 222 2．如果在一条直线上顺次有4个点A、B、C、D，则下列等式成立的是（ ） A．AD·BC?ABCD·?AC·BD B． AD·BC?ABCD·?AC·BD C． AB·BC?AC·CD?AC·BD D． AB·BC?AC·CD?AC·BD 3．如图13-16，线段AB=2BC，DA= 的大小． MDANBC3AB，M是AD的中点，N是AC的中点，试比较MN和AB+NB2图13-16 ()
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十三讲 线段
