2019年
【2019最新】精选高考数学一轮总复习第6章数列第4节数列求和数列的
综合应用高考AB卷理
数列求和
1.(2013·全国Ⅱ，3)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( ) A. C.
B.－ D.－9 1解析 设公比为q，则由S3＝a2＋10a1，得a1＋a2＋a3－a2＝10a1，故a3＝9a1，所以q2＝9.由a5＝9，得a1＝. 答案 C
2.(2012·大纲全国，5)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为( ) A. C.
B. D.100 101解析 由S5＝5a3及S5＝15得a3＝3，
∴d＝＝1，a1＝1，∴an＝n，＝＝－，所以数列的前100项和T100＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选A. 答案 A
3.(2015·全国Ⅱ，16)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________.
解析 由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，因为Sn≠0，所以＝1，即－＝－1，故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.
2019年
答案 －n
4.(2012·新课标，16)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________.
解析 当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1，当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3，∴a2k＋1＋a2k－1＝2，∴a2k＋3＋a2k＋1＝2，∴a2k－1＝a2k＋3，∴a1＝a5＝…＝a61.∴a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)＝＝30×61＝1 830. 答案 1 830
数列求和
1.(2013·辽宁，14)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和.若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________. 解析 因为x2－5x＋4＝0的两根为1和4， 又数列{an}是递增数列， 所以a1＝1，a3＝4，所以q＝2. 所以S6＝＝63. 答案 63
2.(2016·山东，18)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
解 (1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5， 当n＝1时，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5. 设数列{bn}的公差为d. 由即??11＝2b1＋d，???17＝2b1＋3d，1
可解得b1＝4，d＝3，所以bn＝3n＋1.
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(2)由(1)知，cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]， 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]. 两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－
4＋(n＋1)×2n＋2]＝3×???4（1－2n）－（n＋1）×2n＋2? ?1－2?＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2.
3.(2015·山东，18)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3. (1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn. 解 (1)因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3， 当n＞1时，2Sn－1＝3n－1＋3，
此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1， 所以an＝??3，n＝1，???3n－1，n＞1.
(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝，
当n＞1时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n. 所以T1＝b1＝；
当n＞1时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n]，
所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n]， 两式相减，得2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－ (n－1)×31－n＝＋－(n－1)×31－n ＝－，
所以Tn＝－，
经检验，n＝1时也适合. 综上可得Tn＝－.
4.(2015·天津，18)已知数列{an}满足an＋2＝qan(q为实数，且q≠1)，n∈N*，a1
2019年
＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列. (1)求q的值和{an}的通项公式；
(2)设bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前n项和.
解 (1)由已知，有(a3＋a4)－(a2＋a3)＝(a4＋a5)－(a3＋a4)， 即a4－a2＝a5－a3，
所以a2(q－1)＝a3(q－1)，又因为q≠1， 故a3＝a2＝2，由a3＝a1q，得q＝2.
当n＝2k－1(k∈N*)时，an＝a2k－1＝2k－1＝2； 当n＝2k(k∈N*)时，an＝a2k＝2k＝2.
n－1所以，{an}的通项公式为an＝???22，n为奇数，
??n22，n为偶数.(2)由(1)得bn＝＝，n∈N*. 设{bn}的前n项和为Sn，
则Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×，
12Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×. 上述两式相减得：
12Sn＝1＋＋＋…＋－＝－n2n ＝2－－，
整理得，Sn＝4－，n∈N*.
所以，数列{bn}的前n项和为4－，n∈N*.
5.(2014·山东，19)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)因为S1＝a1，
S1，S2，S42019年
S2＝2a1＋×2＝2a1＋2， S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，
由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)， 解得a1＝1，所以an＝2n－1. (2)bn＝(－1)n－1anan＋1 ＝(－1)n－1（2n－1）（2n＋1） ＝(－1)n－1. 当n为偶数时，
4n4nTn＝－＋…＋
11??11??＋＋－ ????2n－32n－1??2n－12n＋1??＝1－＝. 当n为奇数时，
Tn＝－＋…－
11??11??＋＋＋ ????2n－32n－1??2n－12n＋1??＝1＋＝.
2n＋2??2n＋1，n为奇数，所以Tn＝?
2n??2n＋1，n为偶数.数列的综合问题
6.(2015·福建，8)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( ) A.6
B.7 C.8 D.9
解析 由题意知：a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；
2020高考数学一轮总复习第6章数列第4节数列求和数列的综合应用高考AB卷理
