第三节 等比数列及其前n项和
———————————————————————————————— [考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．
1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，an＋1*定义的表达式为＝q(n∈N，q为非零常数)．
an
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与
b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab.
2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1q(2)前n项和公式：
n－1
.
na1q＝1，??
Sn＝?a11－qna1－anq＝q≠1.?1－q?1－q3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m
(n，m∈N)．
*
2
*
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N)，则am·an＝ap·aq＝ak；
?1??an?2
????(λ≠0)(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{an}，{an·bn}，an???bn?
仍然是等比数列；
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为q.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N，q为常数)的数列{an}为等比数列．( ) (2)G为a，b的等比中项?G＝ab.( )
(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( )
2
*
ka1－an(4)数列{an}的通项公式是an＝a，则其前n项和为Sn＝.
1－an[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
1a1＋a3＋a5
2．(2017·广州综合测试(二))已知等比数列{an}的公比为－，则的值是
2a2＋a4＋a6
( )
A．－2 1
C. 2A [
1B．－
2D．2
a1＋a3＋a5a1＋a3＋a5
＝＝－2.]
a2＋a4＋a61
－a1＋a3＋a5
2
3．(2017·东北三省四市一联)等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＝6，a3＝8，则a6＝( ) A．64 C．256
B．128 D．512
?a1＋a2＝a1＋a1q＝6，?
??a3＝a1q＝8，
2
A [设等比数列的首项为a1，公比为q，则由?
解得?
?a1＝2，???q＝2
a1＝18，??
或?2
q＝－?3?
3
(舍去)，所以a6＝a1q＝64，故选A.]
5
4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．
27,81 [设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q，q＝27，∴q＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]
5．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________.
6 [∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列． 2又∵Sn＝126，∴
1－21－2
n3
＝126，解得n＝6.]
等比数列的基本运算 (1)(2016·安徽皖江名校联考)已知Sn是各项为正数的等比数列{an}的前n项
和，a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝( )
A．32 C．128
B．64 D．256
(2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于__________．
【导学号：31222183】
(1)C (2)2－1 [(1)∵{an}为等比数列，a2·a4＝16，∴a3＝4.∵a3＝a1q＝4，S3＝7，
n2
a11－q2422
∴S2＝＝3，∴2(1－q)＝3(1－q)，即3q－4q－4＝0，
1－qq27
∴q＝－或q＝2.∵an>0，∴q＝2，则a1＝1，∴a8＝2＝128.
3
?a1＋a1q＝9，?
(2)设等比数列的公比为q，则有?23
??a1·q＝8，??a1＝1，
解得?
?q＝2?
3
a1＝8，??
或?1
q＝.??2
??a1＝1，
又{an}为递增数列，∴?
?q＝2，?
1－2n∴Sn＝＝2－1.]
1－2
n[规律方法] 1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．
2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．
[变式训练1] (1)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为( ) A．1 1C．1或－
2
1B．－ 21
D．－1或
2
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则＝__________.
?a1q＝7， ①?
(1)C (2)28 [(1)根据已知条件得?2
??a1＋a1q＋a1q＝21， ②
2
S6
S3
1＋q＋q②÷①得＝3. 2
2
q整理得2q－q－1＝0，
2
1
解得q＝1或q＝－.
2
(2)由题可知{an}为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q，a6＝a1q，所以
2
5
a11－qna11－36a11－33S6
27a1q＝a1q，所以q＝3，由Sn＝，得S6＝，S3＝，所以
1－q1－31－3S3
2
5
＝
a11－36
1－3
·
a1
1－3
＝28.] 3
1－3
等比数列的判定与证明 (2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； 31
(2)若S5＝，求λ.
32
[解] (1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，2分 1
故λ≠1，a1＝，故a1≠0.3分
1－λ由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan.5分 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以
an＋1λ＝. anλ－1
1λ因此{an}是首项为，公比为的等比数列，
1－λλ－11?λ?n－1
于是an＝??.7分
1－λ?λ－1?(2)由(1)得Sn＝1－?
?λ?n.9分
??λ－1?
31?λ?5＝31，即?λ?5＝1.10分 由S5＝得1－???λ－1?32
32?λ－1?32??解得λ＝－1.12分
[规律方法] 等比数列的判定方法 (1)定义法：若
an＋1*
＝q(q为非零常数，n∈N)，则{an}是等比数列． an2
*
(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且an＋1＝an·an＋2(n∈N)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·q(c，q均是不为0的常数，n∈N)，则{an}是等比数列．
说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定．
n*
[变式训练2] 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式． [解] (1)证明：∵an＋Sn＝n，① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1，②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，即2an＋1＝an＋1， ∴2(an＋1－1)＝an－1，即2cn＋1＝cn.3分 11由a1＋S1＝1得a1＝，∴c1＝a1－1＝－，
22从而cn≠0，∴
cn＋11＝. cn2
11
∴数列{cn}是以－为首项，为公比的等比数列.6分
221?1?n－1?1?n(2)由(1)知cn＝－×??＝－??，7分
2?2??2?
?1?n又cn＝an－1，∴an＝cn＋1＝1－??，9分
?2?
∴当n≥2时，
bn＝an－an－1＝1－??n－?1－??n－1?＝??n.
222
1?1?n又b1＝a1＝，适合上式，故bn＝??.12分
2?2?
?1?
??
??
?1???1??????
等比数列的性质及应用 (1)(2016·安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列{an}中，若am＋
1
·am－1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若T2m－1＝512，则m的值为( )
A．4 C．6
B．5 D．7
(2)(2016·天津高考)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的( )
A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(1)B (2)C [(1)由等比数列的性质可知am＋1·am－1＝am＝2am(m≥2)，所以am＝2，即数
2
高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n项和教师用书文新人教A版
